¿$\sin$ $\cos$ son la base de qué espacio?

Question

Expansión de Fourier de aprendizaje, aprendemos que $\{\sin(mx), \cos(mx)\}_{m \in \Bbb N}$ es una base orthonormal para el espacio y así nos podemos ampliar funciones en él. Mi pregunta es ¿qué espacio es esto exactamente?

¿Es el espacio de todas las funciones $f: \Bbb R \to \Bbb R$? Lo dudo. Hay algunas funciones realmente extraños. ¿O funciones continuas? ¿O funciones periódicas? ¿O funciones analíticas? ¿O sólo algún conjunto de funciones que sólo puede ser descrito como el palmo de las anteriores funciones de base?

Answer 1

Es el espacio de Hilbert de $L^2$ funciones en el círculo. Más explícitamente, es el espacio de Lebesgue medibles funciones de $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que son periódicas con período de $2\pi$ e tal que la integral

$$\int_0^{2\pi} |f(x)|^2\,dx$$

converge, el modulo de la relación de equivalencia donde $f \sim g$ si $\int_0^{2\pi} |f(x) - g(x)|^2\,dx = 0$.