En Mathworld uno encuentra sin prueba de la integral
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(\exp(x) - x)^2 + \pi^2} = \frac{1}{1 + W(1)}$$
donde $W$ denota la función W de Lambert. ¿Cómo puede uno Mostrar esto? Se rompe el vínculo en Mathworld.
Respuesta
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Es simplemente una aplicación del teorema de los residuos. Tome $\gamma_R$ como la unión de la ruta que va directamente de la $-R$ $R$y el semicírculo que va de $R$$-R$, en contra de las manecillas orientado. Tenemos: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(\exp(x)-x)^2+\pi^2}=\lim_{R\to +\infty}\int_{\gamma_R}f(z)\,dz=2\pi i\cdot\sum_{\xi\in S_R}\operatorname{Res}(f(z),z=\xi)$$ donde $f(z)=\frac{1}{(\exp(z)-z)^2+\pi^2}$ $S_R$ es el conjunto de los ceros de $(\exp(z)-z)^2+\pi^2$ positivo parte imaginaria y el módulo delimitada por $R$. Para cualquier $R$ lo suficientemente grande, $S_R$ es de un solo elemento, a saber, la solución de: $$ \exp(z)-z = -i\pi,$$ que es: $$\xi = i\pi - W(1).$$ El teorema de los residuos por lo tanto da: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(\exp(x)-x)^2+\pi^2} = \frac{1}{1+W(1)}$$ como quería.
