¿Es un enfoque significativo para números primos?

Question

Motivación:

Tiendo a ser bueno en el reconocimiento de patrones y vi a uno con factorial: $$ n! = \prod_{i=1} p_i^{J(n,p_i)} $$ donde $p_i$ $i$'th primer y $$ J(n,i)= \sum_{S=1}^\infty [n/i^S] $$ y $[x]$ es el mayor entero función/función del suelo que actúan en $x$.

Pregunta:

Después de algunos inspección, pensé $J(n,i)$ puede ser re-escrita como:
$$ J(n,i) = \begin{cases} 0 & 1 \leq n < i \\ \vdots & \vdots \leq n < \vdots \\ \sum_{\lambda=j} a_\lambda \frac{1-i^{\lambda}}{1-i} & \sum_{j=1} a_j i^{j} \leq n < \sum_{j=1} b_j i^{j} \\ \end{casos}$$

Por ejemplo:

$ J(6,3) = 2 \frac{(3-1)}{(3-1)} = 2 $ donde $3< n= 2 \times 3 < 9 $

U otro ejemplo:

$ J(67,5) = 2 \times \frac{5^2 -1}{5-1} + 3 \times \frac{5-1}{5-1} = 15 $ donde $ 5^2 \times 2 + 5 \times 3 < n = 67 $

Tomando el $\log$ $n$ factorial:

$$ \log(n!)= \sum_{i=1}^{p_i \leq n} J(n,p_i) \log(p_i) $$

Puede algún tipo de significado integral de transformación (o de operación) se hizo con el fin de eludir más sobre este enfoque de los números primos?

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P. S: yo sólo soy una física de pregrado (ir fácil en mí)

Answer 1

Es bien sabido que el $p$-adic valoración de $n!$ es exactamente $ \upsilon_p(n!) = \sum_{i \in \mathbf{N}_+}\left\lfloor \frac{n}{p^i}\right\rfloor = \frac{n-s_p(n)} {p-1}, $$ donde $s_p(n)$ es la suma de digitos de $n$ % base $p$;)

Answer 2

Espero que la pregunta se vuelve claro para que de esta manera:

1) ¿cuántos múltiplos de 5 hay en 103!? estos múltiplos se 5,10,15,....95,100 yo.e 20 por lo tanto la función del suelo que actúan sobre 103/5.

2)La misma pregunta con $5^2$ da 25,50,75,100 yo.e 4 por lo tanto la función del suelo que actúan sobre 103/25.

3) lo mismo con $5^3$ da 0 y así es para mayores poderes de 5 hasta el infinito.

En consecuencia, la potencia con la que aparece el primer 5 de 103! 24.

Recuerden $a^0$ = 1 por lo que su fórmula es justo considerar en una forma concisa (y elegante) en el camino de todo natural n, ya que para todo el primer piso de la función debe dar constantemente 0 a partir de un cierto rango.

P. S. Su (ir fácil en mí) en su P. S. maked mí para hacer lo que me di cuenta de que ahora es innecesario. De todos modos....