Arzela-Ascoli: ¿por qué es necesaria la fronteridad?

Question

Una de las formas en que la Arzela-Ascoli Teorema que se enuncia es como sigue:

Dado un espacio compacto $X$ y un conjunto $ M \subset C(X) := \{f: X \rightarrow \mathbb{R}, \| . \|_{\infty}\}$, los siguientes son equivalentes:

1) $M$ es acotado, cerrado y uniforme equicontinuous.
2) $M$ compacto.

¿Por qué es la condición en la acotamiento necesario, y ¿no se sigue de uniforme equicontinuity? A mí me parece que el uniforme equicontinuity implica (pointwise) la continuidad de cualquier función de $f$$M$, y desde $X$ es compacto y $f$ es continua, $f(X)$ es compacto, por lo $f$ se lleva a su máxima y mínima en su imagen. En particular, se seguiría que $\| f\|_{\infty} < \infty$, para cada $f \in M$, lo $M$ está acotada. Desde el teorema está bien establecido, a mí me parece que debe haber algún error en este argumento.

Answer 1

Tienes razón: Si $f \in C(X)$, entonces el $f$ es limitado. Pero: significa $M$ limitada

$$\sup_{f \in M} \|f\|_{\infty}<\infty$$

... y esta condición no es necesariamente fulfulled si limita cada función en $M$.

Ejemplo: $f_n(x) := n$, entonces el $f_n$ es continua y acotada, pero no limita $M := \{f_n;n \in \mathbb{N}\}$.

Answer 2

Se cierra el subconjunto de funciones constantes y equicontiuous, pero no compacto. Su error fue sacar la conclusión de funciones acotadas a un conjunto limitado de funciones acotadas...

Answer 3

En general, compacidad de $M$ se prueba demostrando que es secuencialmente compacto. Probar esto, usted necesita tomar una secuencia de funciones en $M$, y aunque cada uno puede ser limitado, no puede ser limitados por el mismo límite. Leer cualquier prueba y verá que es importante que están uniformemente delimitadas.