¿Qué es una variable aleatoria?

Question

Realmente no entiendo la definición de una variable aleatoria. También encontrar la entrada de wikipedia sobre variables aleatorias tipo de confusión. ¿Alguien me puede dar una clara explicación de la variable aleatoria?

Answer 1

Una variable aleatoria es nada más y nada menos de una función en un espacio de probabilidad con valores en ${\mathbf R}$. En primer lugar, debemos ser claros acerca de lo que es un espacio de probabilidad, y luego una variable aleatoria es una función de un espacio de este tipo para los números reales. Que es, lo que hace que las variables aleatorias especial es el tipo de espacio en el que están definidas.

Un espacio de probabilidad se establece $\Omega$ en el que podemos hablar con sensatez acerca de la probabilidad de selección de un elemento a partir de un subconjunto de a $\Omega$.

Ejemplo 1. Deje $\Omega$ ser los resultados de lanzar una moneda dos veces: $\Omega = \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}$. Si la moneda es justa y los lanzamientos se realizan de forma independiente, luego asignamos a cada elemento de a $\Omega$ la probabilidad de 1/4, y de esto se puede producir más probabilidades, tales como la probabilidad de tener al menos una cabeza (es decir, la selección de $\{(H,H),(H,T),(T,H)\}$) siendo 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Si tuviéramos una injusta de la moneda donde $H$ viene con probabilidad 1/3 y $T$ viene con una probabilidad de 2/3, y los dos lanzamientos son independientes, a continuación, $(H,H)$ probabilidad de 1/9, $(H,T)$ $(T,H)$ cada uno tiene probabilidad 2/9, y $(T,T)$ ha probabilidad 4/9. Ahora la probabilidad de que dos (independiente) lanzamientos de la moneda de tener al menos un $H$ es 1/9 + 2/9 + 2/9 = 5/9 < 3/4. Si los dos coin flips no eran independientes, entonces usted no puede determinar la probabilidad de un determinado par de tiradas de la moneda a partir del conocimiento de la probabilidad de $H$ o $T$ por separado.

Ejemplo 2. Deje $\Omega$ ser la unidad de disco en el avión, centrado en el origen. Una distribución de probabilidad en $\Omega$ es la distribución uniforme: la probabilidad de un seleccionados al azar punto de $\Omega$ se encuentra en un subconjunto $S$ es el área de $S$ se divide por $\pi$ (el área de $\Omega$). Otra distribución de probabilidad en $\Omega$ es de Dirac distribución en el origen: la probabilidad de que un seleccionados al azar punto de $\Omega$ se encuentra en cualquier subconjunto $S$ $\Omega$ es 1 si $(0,0) \in S$ y 0 en caso contrario. Hay un montón de distribuciones de probabilidad en la unidad de disco, y la particular elección determina lo que significa elegir un punto desde el disco al azar (de acuerdo a la distribución de probabilidad en la unidad de disco).

En la práctica, un espacio de probabilidad es el conjunto de resultados posibles de un experimento, pero, matemáticamente, una probabilidad de que el espacio es sólo un conjunto en el que podemos hablar acerca de la selección de los elementos de ese espacio acostado en diferentes subconjuntos.

Una variable aleatoria en un espacio de probabilidad $\Omega$ es una función de $\Omega \rightarrow {\mathbf R}$, y por razones históricas, tales funciones se denotan por letras como $X$ o $Y$ (en lugar de $f$ o $g$). Debido a $X$ tiene valores reales, podemos definir la probabilidad de que $X$ tiene valores en el intervalo de $[2,5]$, dicen, a ser la probabilidad de seleccionar un elemento de $\Omega$$\{\omega \in \Omega : 2 \leq X(\omega) \leq 5\}$. La probabilidad de $X$ tiene un valor positivo se declara la probabilidad de seleccionar un elemento de $\Omega$$\{\omega \in \Omega : X(\omega) > 0\}$. En otras palabras, debido a $X$ está definido en un conjunto $\Omega$ en el que podemos hablar de la probabilidad de escoger los elementos de los subconjuntos de a $\Omega$, podemos transferir esta probabilidad mecanismo a intervalos en ${\mathbf R}$ observando los subconjuntos de a $\Omega$ que consiste en aquellos elementos donde $X$ tiene valores en un elegido real de intervalo.

En muchas áreas de las matemáticas, espacios de estudio por el estudio real de las funciones con valores en ellos, tales como funciones continuas en espacios topológicos o suave de las funciones de los colectores. Uno espera que importante en las propiedades del espacio se reflejan en los tipos de valor real de las funciones que razonablemente puede definir en ese espacio (continuo, liso,...). En la teoría de la probabilidad, una de las sondas de la "estructura" de un espacio de probabilidad $\Omega$ trabajando con el valor real de las funciones de $\Omega$ con el fin de transferir las probabilidades de subconjuntos de a $\Omega$ de probabilidades de subconjuntos de a ${\mathbf R}$, porque en ${\mathbf R}$, se pueden hacer cosas que pueden no ser directamente posible en $\Omega$ sí (por ejemplo, agregar los valores de dos variables aleatorias en $\Omega$; puede que no tenga sentido para agregar elementos de la $\Omega$ directamente, como en el caso de los resultados de tiradas de la moneda como $H$ o $T$).

He asumido que no sabes teoría de la medida, así que restó importancia a la medida de la teoría de la tecnicismos anterior con el fin de transmitir la idea básica de lo que es una variable aleatoria. En el lenguaje de la teoría de la medida, un espacio de probabilidad es una medida de espacio equipado con una medida dando todo el espacio de medida 1 y una variable aleatoria en $\Omega$ se define como un valor real medible de la función en $\Omega$.

Answer 2

Una variable aleatoria es una función cuyo valor es conocido sólo después de algunos incertidumbre subyacente sobre el mundo se ha resuelto. Así, por ejemplo, supongamos que hay alguna fuente de incertidumbre en el mundo de la física dicen que la temperatura en el mediodía de mañana. Podemos tener una buena idea de lo que la temperatura es probable que sea por la historia pasada y modelos meteorológicos para que podamos tener una distribución de probabilidad de lo que la temperatura es probable que sea al mediodía, pero no sabemos que es un hecho que si va a ser un número exacto hasta algunos lugares decimales.

Ahora supongamos que entrar en una apuesta con un amigo que dice que por cada grado que la temperatura es de 40 grados que se le paga 1 dólar, y si la temperatura está por debajo de 40 grados, entonces no pasa nada. El pago de esta apuesta depende de lo que se mide la temperatura en el mediodía de mañana. Puede variar dependiendo de la temperatura de los vientos. La rentabilidad de la apuesta es una función de la forma en que la incertidumbre subyacente se ha resuelto. El flujo de caja de esta apuesta es una variable aleatoria. Una variable aleatoria es sólo una función cuyo valor no sabemos ahora mismo y cuyo valor puede ser diferente, dependiendo de cómo algunos incertidumbre subyacente está resuelto, pero una vez que la incertidumbre se resuelve sabemos el valor de la función.

Answer 3

Una variable aleatoria $X$ es una función en el sentido habitual (por ejemplo, con los valores reales), definidas sobre un espacio de probabilidad $\Omega$: Por cada "elemental evento" $\omega\in\Omega$ a un cierto valor $X(\omega)$ está definido. ¿Qué es "aleatorio" acerca de que son los puntos de $\omega\in\Omega$ donde $X$ se evalúa: la rentabilidad de La $X$ depende en una acordado previamente manera en el número de spots lanzados. En la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, cuando se habla de tiempo) el espacio de $\Omega$ es enorme y que carece de una descripción por medio de un número finito de coordenadas o de otra estructura simple. Por lo tanto, uno evita tomar un preciso mirar los sucesos elementales $\omega$. Sin embargo, toda la teoría está configurado de tal manera que se hace preciso sentido hablar de la "probabilidad de que $X$ tiene un valor de $\leq x$" o que dos diferentes variables aleatorias $X$ $Y$ definido en $\Omega$ son "independientes".