Creo que esta definición es incorrecta, porque nada garantiza que el anillo está cerrado a inversos aditivos.
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Jeff
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No puedo creer que la definición de un sub-anillo de Atiyah-Macdonald es incorrecta o incompleta. Sigo tratando de encontrar una manera de leer la definición, de modo que se convierte en realidad ;-).
Por el camino, en lugar de añadir "si $S$ es un subgrupo aditivo ...", es suficiente para la demanda que $-1 \in S$. Porque entonces tenemos $-x = (-1) \cdot x \in S$ todos los $x \in S$.
Por el camino, aun así, esto no es el "correcto" definición: Un sub-anillo no es sólo un subconjunto de las propiedades. Es un subconjunto con extra de la estructura, es decir, un anillo, y las propiedades. Una muy abstracto definición sería: Un sub-anillo de $R$ es un subobjeto de $R$ en la categoría de anillos. De forma equivalente, y más explícito: Un sub-anillo $S$ $R$ es un anillo (!) junto con un homomorphism de los anillos de $S \to R$, que es sólo una inclusión en el subyacente de los conjuntos. Pero en la práctica estos son a menudo sólo inyectiva mapas, no inclusiones en el sentido de la teoría de conjuntos (por ejemplo, $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[T]$). La categoría de la teoría de la definición podría ser abstracto, pero es realmente útil en la práctica. Incluso álgebra abstracta textos como el de Atiyah-Macdonald utilizar sin ningún tipo de explicación. Por lo que su definición de un sub-anillo no está mal porque el cierre bajo inversos aditivos que falta, sino también porque esta no es la definición que se utiliza en el libro.
