2 conjetura límites de recursividad para $e$ y $\pi$.

Question

Considere el siguiente recursiones

$$ x_{n+2} = x_{n+1} + \frac{x_n}{n} $$

$$y_{n+2} = \frac{ y_{n+1}}{n} + y_n $$

He estado jugando un poco con diferentes valores iniciales ( Números complejos ) , divergeance etc. Pero no fue capaz de concluir mucho.

Sin embargo me di cuenta que cuando

$$ x_1 = 0 $$

$$y_1 = 0 $$

$$ x_2 = 1 $$

$$ y_2 = 1 $$

Se obtiene el siguiente límite de recursiones

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{x_n} = e $$

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{y_n ^2} = \pi $$

Cómo probar estas ??

¿Y los divergeance / convergeance para otras complejo de valores iniciales ?

---

Edit : una respuesta parcial se produce aquí

Espejo algoritmo para el cálculo de $\pi$ $e$ - lo hace alusión alguna relación entre ellos?

http://www.pi314.net/eng/miroir.php

Pero el problema de otro a partir de los valores no está resuelto aún.

( así que no es un duplicado completo )

Para el primer recursividad tenemos una respuesta ( ver abajo), pero en el momento de la publicación , el segundo no tiene ninguna respuesta con respecto a la variable de las condiciones iniciales todavía.

Answer 1

Aquí es una solución para el segundo caso: Vamos a $(y_n : n \geq 1)$ satisface la relación de recurrencia

$$ y_{n+2} = \frac{y_{n+1}}{n} + y_n, \qquad y_1 = a, \quad y_2 = b. \tag{1}$$

Deje $y$ ser la generación de la función de $(y_n)$, es decir,

$$ y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} y_n x^n. $$

La relación de recurrencia $\text{(1)}$ se traduce en la siguiente ecuación diferencial:

$$ x(x^2 - 1) y'(x) + (x+2)y(x) = ax(x+1) $$

La solución de esta ecuación bajo la restricción $y(x) = ax + bx^2 + \mathcal{O}(x^3)$ da

$$ y(x) = \frac{ax}{1-x} + \frac{x^2}{1-x}\left( \frac{a \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{b-a}{\sqrt{1-x^2}} \right). $$

Ahora, los resultados son útiles para nuestro cálculo:

Hecho. Tenemos las siguientes expansiones de Taylor: $$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} x^{2n} \quad \text{y} \quad \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} x^{2n+1}. $$

A partir de esto, nos encontramos con que

$$ y(x) = a\left( \sum_{n=1}^{\infty} x^n \right) + x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \Bigg( a \sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} + (b-a) \sum_{0 \leq 2k \leq n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \Bigg) x^n$$

y por lo tanto tenemos

$$ y_{n+2} = a + a \sum_{0 \leq 2k+1 \leq n} \frac{(2k)!!}{(2k+1)!!} + (b-a) \sum_{0 \leq 2k \leq n} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}, \qquad n \geq 0. $$

Finalmente, a partir de la Stirling fórmula es fácil ver que

$$ \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} \sim \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{1}{\sqrt{n}} \quad \text{y} \quad \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} $$

como $n \to \infty$. Por lo tanto, por el Cesàro-Stolz teorema tenemos

$$ y_n \sim \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} a + \sqrt{\frac{2}{\pi}} (b-a) \right) \sqrt{n}, $$

o, equivalentemente,

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{y_n^2}{2n} = \frac{1}{\pi}\left( b + \left(\frac{\pi}{2}-1\right) a \right)^2 . $$

Answer 2

Esto no es una respuesta desde obtenidos usando un CAS.

Para la primera repetición $$x_{n+2} = x_{n+1} + \frac{x_n}{n}\qquad,\qquad x_1=a \qquad,\qquad x_2=b$$ what was obtained after simplifications of the results given by a CAS is $$x_n=a n +(b-2a)\frac {!n}{(n-1)!}$$ where appears the subfactorial function which makes $$\frac n {x_n}=\frac 1 {a+(b-2a) \frac{!n}{n!}}$$ Since $$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{!n}{n!}\right)=\frac 1e$$ then $% $ $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{x_n}\right)=\frac e {a e+(b-2a) }$

Para la segunda repetición, yo no he sido capaz de conseguir cualquier cosa.