Brecha superconductora, dependencia de la temperatura: ¿cómo calcular esta integral?

Question

Tinkham (página 63) afirma que la dependencia de la temperatura de la energía de hueco de un superconductor $\Delta(T)$ puede calcularse mediante la siguiente integral:

¿Cómo puede llevarse a cabo realmente? No estoy seguro de cómo abordar este problema o reorganizar la ecuación para encontrar $\Delta(T)$ numéricamente.

Una URL que contiene un poco más de información sobre esta Ecuación: http://katzgraber.org/teaching/ss07/files/burgener.pdf (diapositiva 35)

Answer 1

No les daré la solución numérica, pero a continuación les explicaré algunas simplificaciones analíticas que creo que son necesarias para resolver el problema numérico. La estrategia es sencilla: intentar expresar todos los parámetros de la integral en términos de variables adimensionales. Para conseguir una discusión en términos de $\delta = \Delta(T) / \Delta(T=0)$ y $\tau = T / T_{c}$ se requiere un poco de trabajo, eso es lo que hago en la primera sección a continuación. La segunda sección da el resultado final, que puedes comprobar numéricamente.

Tenga en cuenta en primer lugar la pregunta relacionada Fuerza de interacción en la teoría BCS , donde también di algunas observaciones sobre el método y algún valor numérico para el parámetro $$\eta = \frac{1}{N(0)V}$$ la fuerza de interacción (inversa). Al final del cálculo, este resultará ser el único parámetro que necesites.

A continuación, los números de las ecuaciones son los del documento original de BCS [Bardeen, J., Cooper, L. N., & Schrieffer, J. R. ; Teoría de la superconductividad . Physical Review, 108 , 1175-1204 (1957). http://dx.doi.org/10.1103/PhysRev.108.1175 -> de lectura gratuita en el sitio web de la APS]. Cambio un poco su notación, sin embargo, el parámetro gap se llamará $\Delta$ en lugar de $\varepsilon_{0}$ y la frecuencia de Debye se anotará $\omega_{D}$ en lugar de la BCS $\omega$ . Posteriormente, aquí $\Delta_0=\Delta\left(T=0\right)$ para simplificar. He intentado ser tan explícito como he podido, de forma que en principio no hay necesidad de comprobar el documento BCS, excepto para la primera ecuación (la ecuación de la brecha autoconsistente, véase más adelante).

Cálculos preparatorios del Somme: la ley universal

Empecemos por el integral autoconsistente de la brecha:

$$\eta = \int_{0}^{\hslash \omega_{D}}\tanh \frac{\sqrt{\Delta^{2}+\xi^{2}}}{2k_{B}T}\frac{d\xi}{\sqrt{\Delta^{2}+\xi^{2}}}$$

donde $\Delta=\Delta(T)$ es una mano corta. Primero discutiremos una expresión para la temperatura crítica $T_{c}$ entonces para la amplitud de la brecha $\Delta_{0}$ a temperatura cero, para acabar con una relación universal entre $\Delta_{0}$ y $T_{c}$ .

1.Temperatura crítica

La temperatura crítica de transición $T=T_{c}$ viene dada por la integral anterior al inicio de $\Delta$ . Dilo de otro modo, $\Delta(T_{c})=0$ . Entonces, $T_{c}$ viene dada por la relación integral

$$\eta = \int_{0}^{\hslash \omega_{D}}\tanh \frac{\xi}{2k_{B}T_{c}}\frac{d\xi}{\xi} = \int_{0}^{\kappa} \frac{\tanh z}{z} dz$$

desde $\xi$ es una variable positiva (que representa la energía cinética). He definido $\kappa = \hslash \omega_{D} / 2 k_{B} T_{c} $ en la integral anterior. Esta integral está mal definida en su límite inferior, pero puede evaluarse mediante una integración por partes

$$\int_{0}^{\kappa} \frac{\tanh z}{z} dz = \left. \ln z \tanh z \right|_{0} ^{\kappa} - \int_{0}^{\kappa} \frac{\ln z}{\cosh^2z}dz$$

donde el primer término se evalúa exactamente y el segundo se aproxima

$$\int_{0}^{\kappa} \frac{\tanh z}{z} dz \approx \ln \kappa - \int_{0}^{\infty} \frac{\ln z}{\cosh^2z}dz = \ln \kappa + \ln \frac{4 e^{\gamma}}{\pi}$$

para lo suficientemente pequeño $T_{c}$ o un corte de Debye suficientemente grande (gran $\kappa$ ). La segunda integral sigue estando mal definida en su límite inferior, pero está bien tabulada y escrita en términos de la constante de Euler $\gamma$ .

Recopilando todo lo que hemos hecho hasta ahora, tenemos

$$\eta \approx \ln \frac{4e^{\gamma}\kappa}{\pi} \;\; ; \;\; \kappa \gg 1$$

o equivalentemente la importante relación

$$\frac{k_{B}T_{c}}{\hslash\omega_{D}} \approx \frac{2e^{\gamma}}{\pi}e^{-\eta} \approx 1.134 e^{-\eta} \;\; ; \;\; \hslash\omega_{D} \gg k_{B}T_{c}$$

que te ayuda a encontrar numéricamente la temperatura crítica. Esta es la Ec.(3.29) del documento BCS. Esta ecuación tiene importantes consecuencias. La más importante de ellas es que es imposible encontrar $T_{c}$ por expansión de perturbación de la fuerza de interacción $\eta^{-1}$ . Este punto (entre otros, como la ausencia de mecánica cuántica -de ahí QM de muchos cuerpos- cuando se descubrió la superconductividad) explica la larga espera antes de que se descubriera una teoría eficaz de la superconductividad.

2. Hueco de temperatura cero

La discusión anterior (larga) es sólo una ayuda numérica para la temperatura crítica. Busquemos ahora una evaluación sencilla de $\Delta_{0}$ a temperatura cero. A temperatura cero, la ecuación autoconsistente es simplemente

$$\eta=\int_{0}^{\hslash \omega_{D}}\frac{d\xi}{\sqrt{\xi^{2}+\Delta_{0}^{2}}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{\hslash \omega_{D}}{\Delta_{0}}=\sinh \eta}$$

ya que la integral se puede calcular exactamente . Esta es la ecuación (2.40) del documento BCS.

3. Relación BCS universal

Ahora, el punto importante. Tenemos por encima de dos evaluaciones de $\eta$ un dependiente de $T_{c}$ y la otra depende de $\Delta_{0}$ . Entonces, se tiene

$$\frac{\hslash \omega_{D}}{\Delta_{0}} = \sinh \ln \frac{4e^{\gamma}\kappa}{\pi}$$

que, para $\Delta_{0} / \hslash \omega_{D}$ da aproximadamente (NB: la ecuación a resolver es una ecuación polinómica de segundo orden en $\kappa$ por lo que tiene dos soluciones. Sólo hay que retener la solución positiva, ya que todos los parámetros son positivos) la aproximada Ley universal BCS para un acoplamiento débil

$$\boxed{ \Delta_{0} \approx 1.76 \; k_{B}T_{c}} \;\; ; \;\; \hslash \omega_{D} \gg \Delta_{0}$$

casi la Ec.(3.30) de BCS (su prefactor numérico es 1.75, no 1.76, pero eso es lo que encontré usando Maple en realidad). Se puede comprobar la relación asintótica utilizada dos veces más arriba: $\hslash\omega_{D}\gg \left(k_{B}T_{c} , \Delta_{0} \right)$ desde $\Delta_{0}$ y $k_{B}T_{c}$ son del mismo orden de magnitud a través de la ley universal de BCS.

Este punto importante de la discusión anterior (larga...) es que terminamos con una ley universal que vincula el parámetro de brecha a temperatura cero, y la temperatura crítica de todos los superconductores BCS . Esto se puede utilizar para definir lo que es un superconductor BCS, pero no estoy seguro de que un superconductor no-BCS tiene una definición comúnmente aceptada como violación de la expresión anterior.

En universal versión para acoplamiento débil

Utilizando todas las expresiones anteriores, en particular lo que he llamado la ley universal $\Delta_{0} \approx 1.76 k_{B}T_{c}$ y el resultado exacto $\hslash \omega_{D}/\Delta_{0}=\sinh \eta$ se obtiene fácilmente

$$\eta \approx \int_{0}^{\delta^{-1}\sinh\eta}\tanh\left(0.882 \frac{\delta}{\tau}\sqrt{1+z^{2}}\right)\frac{dz}{\sqrt{1+z^{2}}}$$

con $\delta=\Delta(T)/\Delta_{0}$ y $\tau = T / T_{c}$ . NB: He puesto el factor numérico $0.882$ en lugar de $1.76 / 2$ que es más preciso. Lo encontré utilizando el método explicado en la sección anterior.

Así que, ahora, la estrategia numérica es fijar $\eta$ para una ejecución de cálculo (véase, por ejemplo Fuerza de interacción en la teoría BCS ), entonces fija $\delta$ y encontrar $\tau$ , cambio $\delta$ y resolver para $\tau$ ... hasta obtener $\delta(\tau)$ . Creo que la forma anterior es más sencilla que la primera fijación $\tau$ para resolver $\delta$ debido a la $1/\delta$ en la frontera, pero tal vez me equivoque en este punto.

He obtenido la siguiente cifra de Maple. 30 segundos de integración numérica son suficientes.

NB He calculado $-\delta$ ya que el $\delta$ son negativos... No entiendo por qué (¿alguien tiene una idea?). Además, añado a mano los puntos [0,1] (en $T =T_{c}$ ) y [1,0] (en $T=0$ ), ya que $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}1/\epsilon$ está mal definida numéricamente, pero conocemos estos puntos por la integral completa.

Según mi experiencia, si intentas calcular $\Delta(T)$ desde cero (eligiendo un $\omega_{D}$ y un $\eta$ aleatoriamente ), tendrás (¡muchos!) problemas. Esto se debe a que la región en la que la solución de la ecuación autoconsistente no es trivial (una solución $\delta \neq 0$ existe) es muy estrecha. Ahora, $\tau$ y $\delta$ en medio $0$ y $1$ es la región buena de fase no trivial, ¡y lo sabemos desde el principio! Por cierto, siempre es más sencillo hablar de variables adimensionales como $\delta$ y $\tau$ ya que son los únicos que debes trazar.

Por último, una observación: debería preguntarse por el universal aspecto de la simplificación... Bueno, yo diría que la teoría BCS es válida para el acoplamiento débil sólo desde el principio. Así que no tiene ningún interés tratar de resolver la primera integral que escribí en esta respuesta en lugar de la última.

P.D.: No he encontrado ninguna mención de la discusión / sustitución anterior en la literatura, así que escribí mi propia :-). Estoy profundamente interesado en algunas referencias de hecho.

Answer 2

No lo he probado con esta ecuación en concreto, pero en principio se pueden resolver problemas como éste mediante una combinación de integración numérica y un algoritmo de búsqueda de raíces. Para una variable dada $x$ que desea determinar para un valor fijo $v$ de la integral, el algoritmo de búsqueda de raíces encontrará una solución a la ecuación

$v-integral(x)=0.$

El algoritmo de búsqueda de raíces intentará igualar la variable de tal forma que se satisfaga la ecuación, mientras que la integral se evalúa numéricamente. En tu ejemplo, $\Delta$ corresponde a la variable $x$ mientras que $1/N(0)V$ asume el papel de v.