Teorema del punto fijo de Lefschetz:
Para un espacio triangulable compacto $X$ y un mapa continuo $f:X\rightarrow X$ , $$\sum_i(-1)^i\mathrm{Tr}(f_*|H_k(X,\mathbb{Q})=\sum_{x\in\mathrm{Fix}(f)}\mathrm{index} _x f$$
Teorema del índice de Poincare-Hopf:
Para una variedad compacta orientable y diferenciable $M$ y un campo vectorial $v$ en $M$ con singularidades aisladas, tenemos $$\sum_i(-1)^i\dim H_k(X,\mathbb{Q})=\sum_{x\in\mathrm{Sing}(v)}\mathrm{index}_xv$$
Observar la formalidad similitud entre estas fórmulas y la compatibilidad de las condiciones, se me ocurrió la idea de que están conectadas.
Para una posible conexión, imaginé que podemos construir un mapa $f_v:M\rightarrow M$ dejando que los puntos fluyan a lo largo de $v$ (¿en un tiempo suficientemente corto?). Entonces este mapa es muy similar (¿homotópico?) a $\mathrm{id}_M$ por lo que la traza es dimensión. Y por construcción los dos índices deben coincidir. Así que podemos ver esto último como un corolario.
Pero no fui capaz de darme cuenta de ello. ¿Puede alguien decirme cómo hacerlo? ¿O se puede encontrar en algunos textos?
