¿Probabilidad de rodar los primeros 6 en un tiro incluso?

Question

Me encontré con esta pregunta y yo no estaba seguro de cómo acercarse a él. La pregunta dice, básicamente, se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener los primeros 6 en un tiro? I. e., el 2, 4, 6, 8, etc. morir de tiro. Parte de mi problema es que, obviamente, nunca se sabe cuando puede venir. He aquí mi respuesta:

La probabilidad de conseguir un 6 en el $n$th lanzar es:

$$\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{6}$$

Ahora queremos resolver cuando se $n=2k$ donde $k$ es un número natural que nos da:

$$\left(\frac{5}{6}\right)^{2k-1}\cdot\frac{1}{6}=\left(\frac{5}{6}\right)^{2k}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{-1}\cdot\frac{1}{6}$$

El obvio adivinar es $\frac12$, ya que al parecer sería la misma probabilidad de caer en un vs raro, aunque extraño debe tener una ventaja ya que el número de impares rollos son siempre mayores o iguales a la lanza, pero no está seguro.

$$=\left(\frac{5}{6}\right)^{2k}\cdot\frac{1}{5}=\left(\frac{25}{36}\right)^{k}\cdot\frac{1}{5}$$

Este punto no tengo idea de cómo proceder, he estado haciendo este derecho tan lejos? ¿Cuál es el siguiente paso?

Answer 1

Su expresión final:

$$a_k = \frac{1}{5} \cdot\left( \frac{25}{36} \right)^k$$

Este correctamente da la probabilidad de que su primer 6 se producirá en el $2k$th rollo. Por eso, $a_1$ es la probabilidad de que su primer 6 es en rollo de 2; $a_2$ es la probabilidad de que su primer 6 es el rollo de 4; etc.

Con el fin de encontrar la probabilidad de $p$ que su primera 6 es en cualquier incluso rodar, sólo tenemos que sumar todos los $a_k$s:

$$p = \sum_{k=1}^\infty a_k = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{25}{36} \right)^k \right]$$

La fórmula para la suma de una serie geométrica infinita con una relación de $r < 1$ (de la forma $a_1, a_1 r^1, a_1 r^2, \dots$) es bien conocido:

$$\sum_{k=1}^\infty a_1 r^k = \frac{a_1}{1-r}$$

La comparación de la forma de una infinita serie geométrica de la fórmula que hemos reunido para $a_k$, podemos ver que $a_1 = (1/5)(25/36)$, y la proporción es $r = (25/36)$. Por lo tanto:

$$p = \frac{a_1}{1-r} = \frac{25/180}{11/36} = \frac{5}{11}$$

Esto es cerca de a $1/2$, pero no exactamente igual a ella.

Una forma intuitiva de entender por qué esto es pensar en esto como un "juego" entre los dos jugadores que se turnan para lanzar el dado. En cada par de vueltas, el primer jugador a rodar automáticamente tiene una ventaja, ya que si lanzan un 6, que ganar, mientras que el segundo jugador sólo tiene una oportunidad de rodar si el primer jugador que todavía no se han ganado. Esta es la razón por la que es menos probable que usted obtenga los primeros 6 en un rollo que en una extraña roll - incluso los rollos se corresponden con el "segundo jugador", quien se encuentra en una situación de desventaja.

Answer 2

Es intuitivamente claro, y no es difícil de demostrar, que el juego termina con una probabilidad de $1$. Deje $a$ la probabilidad de que el juego termina en un extraño tiro. Entonces la probabilidad es $1-a$.

En el primer lanzamiento, con una probabilidad de $\frac{1}{6}$ el juego termina inmediatamente, y por lo tanto en una extraña tiro. Con una probabilidad de $\frac{5}{6}$, el juego no termina de inmediato, y por lo tanto la probabilidad de que el juego termina en un extraño tiro es $1-a$. Así $$a=\frac{1}{6}\cdot 1+\frac{5}{6}\cdot(1-a).$$ Resolver la ecuación lineal para $a$. Llegamos $a=\frac{6}{11}$, por lo que la probabilidad de que el juego termina en un tiro de es $\frac{5}{11}$.