Juego en un círculo

Question

$N$ a los jugadores jugar a un juego. Están de pie en una manera tal que forman una regular $N$-gon. Los jugadores se numeran a partir de $1$$N$. Los jugadores lanzar boomerangs en orden de las agujas del reloj, en los giros. En primer reproductor $1$ lanza un boomerang, a través del centro del polígono. Si $N$ es par, entonces el boomerang golpea al jugador en el lado opuesto, y el jugador que golpeó deja el juego. Si $N$ es impar, a continuación, en el punto opuesto no tiene ningún jugador, por lo que el boomerang vuelve volando el jugador que tiró y le golpea, haciendo de él deje el juego. Después de que un jugador abandona el juego continúa con $N-1$ jugadores en la misma manera (es decir, volvieron a hacer una regular $(N-1)$-gon). El jugador que clockwisely más cercano al último jugador que se mueve, es el turno ahora.

El juego continúa hasta que sólo quede un jugador. Hay alguna forma cerrada de la expresión para el índice de un jugador ganador en términos de $N$?

Si $f(m)$ denota la respuesta, entonces me di cuenta de un trivial de recursividad que $f(2n+1)=f(2n)+1$ ya que en el raro caso, el jugador $1$ está en el primer movimiento y luego el jugador $2$ se mueve. Pero nada para el caso. Gracias por la ayuda.

Primer par de valores: n --> f(n)

2 --> 1

3 --> 2

4 --> 4

5 --> 5

6 --> 1

7 --> 2

8 --> 3

9 --> 4

10 --> 5

11 --> 6

12 --> 8

13 --> 9

14 --> 11

15 --> 12

16 --> 14

Answer 1

Observando el patrón de $n - f(n)$ (al menos para n = 1 a 10000 en mi simulación) muestra que se mantiene constante, disminuye cada dos pasos, luego repite. Nos damos cuenta de la secuencia de $0, 1, 5, 21, 85, 341, 1365, 5461,$ la cual es generada por $$a(k) = \frac{4^k - 1}{3}, \qquad\qquad a(k+1) = 4a(k)+1$$ Conjetura: Dado $n$, determinar el $k$ tal que $a(k) < n \leq a(k+1)$, entonces el ganador es:

$$f(n) = \begin{cases}n - a(k) \quad &\mbox{ for }a(k)+1\leq n \leq 2a(k)+1\\ n - a(k)+\lfloor{i/2}\rfloor \quad &\mbox{ for } 2a(k)+2 \leq n \leq a(k+1), n = 2a(k)+i \end{casos}$$

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#Python/SageMath code
def f(n):
  graphList = range(1,n+1); 
  playerIndex = 0
  while len(graphList)>1:
    if len(graphList)%2==0:
        currValue = graphList[playerIndex%len(graphList)]
        oppositeIndex = (len(graphList)/2+playerIndex)%len(graphList)
        del graphList[oppositeIndex]
        playerIndex = (graphList.index(currValue)+1)%len(graphList)
    else: del graphList[playerIndex]
return graphList[0]