Base paso de inducción en Hartshorne III 9.5

Question

Deje $f\colon X \to Y$ ser un piso de morfismos de esquemas de finito tipo sobre un campo k. Para cualquier punto de $x\in X$, sea y = f(x).

Supongamos que dim Y = 0.

Hartshorne afirma ahora que $X_y$ está definido por un nilpotent ideal en X. ¿por Qué?

Hice el intento siguiente:

Si Y es de dimensión cero, entonces, que en el caso clásico, tenemos una gran variedad X la asignación a un montón de puntos aislados. Puesto que y = f(x), si suponemos además que x está conectado, entonces el conjunto de X mapas y. Así que, de hecho, $X_y$ es el conjunto de X, y el conjunto de X se define por un nilpotent ideal.

Pero ¿cómo funciona en el caso general? ¿Cómo hace uno para probar, en el esquema de configuración, que si Y es cero dimensionsional, a continuación, cada componente de X se asigna a un (obviamente cerrado) punto de Y? Y, ¿cómo puede uno demostrar primero que $X_y$ está definido por un nilpotent ideal, en lugar de deducir que el hecho de que es el conjunto del espacio?

Answer 1

Como usted señala asumimos $Y=Spec(A)$ donde $(A, \mathfrak{m})$ es un local Artinian $k$-álgebra y que $y$ corresponde a $\frak{m}$. En esta situación, $X_y=X\otimes_A A/\frak{m}$ (voy a usar este atajo para $X\times_{Spec(A)}Spec(A/\mathfrak{m})$).

Ahora sólo queremos averiguar el ideal de la gavilla de la definición de $X_y\hookrightarrow X$. Considerar la breve secuencia exacta $0\to \mathfrak{m}\to A\to A/\mathfrak{m} \to 0$.

Por planitud, todavía podemos obtener exactitud $0\to \mathfrak{m}\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\otimes_A A/\mathfrak{m}\to 0$. Pero $\mathcal{O}_X\otimes_A A/\mathfrak{m}=\mathcal{O}_{X_y}$ y, por tanto, el ideal de la gavilla es $\mathfrak{m}\mathcal{O}_X$. Este es nilpotent porque $A$ es Artinian.