¿Por qué no son intercambiables estos derivados parciales?

Question

Me he encontrado con algo que me confunde en relación con las funciones multivariables y las derivadas parciales. Utilizaré un ejemplo para ilustrarlo:

Dejamos que $$x = f(y,t) = yt^2,$$ y definir los operadores $$\partial_{t|x}(\cdot) := \left.\frac{\partial (\cdot)}{\partial t}\right|_{x},$$ ( $x$ se mantiene constante) $$\partial_{t|y}(\cdot) := \left.\frac{\partial (\cdot)}{\partial t}\right|_{y}.$$

Ahora investigamos si estos operadores son intercambiables. En primer lugar, $$\partial_{t|x}x = 0$$ $$\Rightarrow \partial_{t|y}(\partial_{t|x}x) = 0.$$

En segundo lugar, $$\partial_{t|y}x = \partial_{t|y}f(y,t) = 2yt = 2x/t$$ $$\Rightarrow \partial_{t|x}(\partial_{t|y}x) = -2x/t^2 \neq 0.$$

A estas alturas estoy confuso. Por supuesto, me sentí incómodo escribiendo lo anterior, como si algo estuviera yendo terriblemente mal en alguna parte, pero no puedo poner mi dedo en dónde. ¿Dónde está el error? En algún lugar alrededor de la sustitución $2yt = 2x/t$ ? ¿Quizás estoy confundiendo variables libres/ligadas, o manteniendo cosas constantes donde no me está permitido? ¿Quizás no puedo esperar que las derivadas sean intercambiables en absoluto? En ese caso, ¿por qué no?

EDIT: Algunas personas me preguntan sobre mi notación. La notación para los operadores anteriores (es decir. $\partial_{t|x}$ ) son sólo algo que inventé sobre la marcha para este post, y como se mencionó anteriormente, la notación de línea vertical indica qué variable debe mantenerse constante durante la diferenciación (es decir, la variable a la derecha de la línea, en la parte inferior). Esto último no debería ser controvertido, ¿verdad? Permítanme ilustrar la idea. Imaginemos unas funciones anidadas: $$f(g(x,t), t) = g(x,t)^2 + t^2 = \{g(x,t) = x + t^2\} = x^2 + 2xt^2 + t^4 + t^2$$ Ahora, si no me equivoco, $\frac{\partial f}{\partial t}$ es ambigua: podemos imaginar que se mantiene o bien $g(x,t)$ o $x$ constante al realizar esta diferenciación. Es decir $$\left.\frac{\partial f(g(x,t),t)}{\partial t}\right|_g = 2t$$ y $$\left.\frac{\partial f(g(x,t),t)}{t}\right|_x = 4xt + 4t^3 + 2t.$$ Ahora, podemos utilizar la regla de la cadena para obtener $$\left.\frac{\partial f(g(x,t),t)}{t}\right|_x = \left.\frac{\partial f(g(x,t),t)}{g}\right|_t\left.\frac{\partial g(x,t)}{t}\right|_x + \left.\frac{\partial f(g(x,t),t)}{t}\right|_g = (2g(x,t))(2t) + 2t$$ $$ = 4xt + 4t^3 + 2t$$

Answer 1

Tus cálculos son correctos, y las derivadas en tu sentido son no intercambiables.

Sus derivados $\partial_{t|x}$ y $\partial_{t|y}$ son derivaciones $C^\infty(M) \rightarrow C^\infty(M)$ donde $M := \{ (x,y,t) ~|~ x=yt^2 \}$ que es una variedad. Por ejemplo $\partial_{t|x}$ se define de la siguiente manera: puesto que $M \rightarrow \mathbb{R}^2, ~ P \mapsto (t(P),x(P))$ es un gráfico (al menos localmente), cualquier función $f \in C^\infty(M)$ se puede escribir $f(P)=g(t,x):=g(t(P),x(P))$ para algunos $g \in C^\infty(\mathbb{R}^2)$ y $\partial_{t|x}f(P)$ se define como $(\partial_t g)(t(P),x(P))$ .

En general, dos derivaciones no son conmutables. Lo que sí es cierto es que $\partial_{t|x}$ y $\partial_{x|t}$ conmutan (teorema de Schwarz).

Answer 2

Si $x=yt^2$ entonces $\partial_{t|x}$ no es cero. Es cierto que el símbolo " $x$ " no aparece en la expresión " $yt^2$ ", pero $x$ depende de $t$ .

Lo que has escrito es como afirmar que si $y=x^2$ entonces $\frac{d}{dx}\{y\}=0$ pero $\frac{d}{dx}\{x^2\}=2x$ .

Obsérvese que el Teorema de Clairaut afirma que si las parciales mixtas de segundo orden existen y son continuas en un conjunto abierto, entonces son iguales (¡Búscalo en Google!)

Answer 3

Lo que has definido no es una diferenciación parcial. Es otra cosa por lo tanto no tiene ninguna razón especial para conmutar.

Usted ha demostrado que hay un contraejemplo por lo tanto su la diferenciación no es conmutativa.

Para normal derivada parcial, no es necesario indicar cuál es constante y cuál no. $\frac{\partial f(x,t)}{\partial t}$ diferenciará todo lo que sea función de $t$ y mantener el resto como constante. Al hacerlo, mantienes $g(x,t)$ constante pero es función de $t$ por lo que debe diferenciarse con respecto a $t$ .
Ahí es donde tu definición difiere de la normal.

Como resumen, has demostrado que lo que has definido no es conmutativo pero no es diferenciación parcial.

Answer 4

Algunas respuestas se oponen a la noción de especificar lo que se mantiene constante antes de tomar una derivada parcial, pero en física (por ejemplo, en termodinámica) es bastante común tener una relación entre variables, donde cuáles son constantes y cuáles son libres de variar depende de la situación. (Por ejemplo, presión constante frente a volumen constante). Como soy físico, no me parece nada objetable.

Una forma de verlo es $x = yt^2$ puede ser una relación que se mantiene en general, pero que significa o bien $x = f(y,t) = yt^2$ o $y = g(x,t) = \frac{x}{t^2}$ (para $t \neq 0$ ) según se trate de un contexto en el que $y$ es fijo o cuando $x$ es fijo. Y cuando $x$ es fija, la ecuación para $x$ es sólo $x = h(x,t) = x$ (una función constante en $t$ ).

Entonces, usando tu notación, tenemos:

$\partial_{t|y}(\partial_{t|x}x) = \left.\frac{\partial }{\partial t}\left(\left.\frac{\partial x}{\partial t}\right|_x\right)\right|_{y} = \left.\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{\partial h(x,t)}{\partial t} \right) \right|_y = \left.\frac{\partial }{\partial t}\left( 0 \right) \right|_y = 0$

Lo mismo digo:

$\partial_{t|x}(\partial_{t|y}x) = \left.\frac{\partial }{\partial t}\left(\left.\frac{\partial x}{\partial t}\right|_y\right)\right|_{x} = \left.\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{\partial f(y,t)}{\partial t} \right) \right|_x = \left.\frac{\partial }{\partial t}\left( 2 y t \right) \right|_x = \frac{\partial }{\partial t}\left( 2 t g(x,t) \right) = -2 \frac{x}{t^2}$

Yo no recomendaría pensar en tus derivadas parciales como operadores no conmutativos que actúan sobre la variable $x$ . Se toman derivadas parciales de funciones, no de variables. La razón por la que se obtienen respuestas diferentes es porque $x$ y $y$ representan funciones diferentes en un caso que en el otro.

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Estoy seguro de que esto atraerá algunos comentarios sobre el abuso de las matemáticas por parte de los físicos, pero la cuestión es que $\left. \frac{\partial A} {\partial x} \right|_y$ utilizado de este modo tiene un significado bien definido. Significa "La derivada parcial (con respecto a $x$ ) de la función que da A en términos de variables $x$ y $y$ . Mientras sus lectores conozca eso es lo que significa tu notación, no veo nada malo en usarla.

Answer 5

No he visto la notación que utilizas. Déjame usar la notación estándar. Si $x=yt^2$ entonces $$\frac{\partial x}{\partial t} = 2yt \implies \frac{\partial^2x}{\partial y \, \partial t} = 2t$$ $$\frac{\partial x}{\partial y} = t^2 \implies \frac{\partial^2x}{\partial t \, \partial y} = 2t$$ Las derivadas parciales conmutan (el orden no importa), y esto es siempre el caso para funciones suficientemente bien comportadas. Más información .