No $C^{*}$ ¿Algebras de Banach?

Question

De repente se me ocurrió que casi todas las álgebras de Banach que conozco son en realidad un $C^{*}$ álgebra. Existen varios tipos de álgebras de funciones $C^{*}$ álgebras. También lo es el álgebra matricial. Aunque se obtiene una $C^*$ centrándonos en las matrices triangulares superiores, la norma sigue satisfaciendo la $C^*$ identidad.

El álgebra de operadores en un espacio de Banach general no es $C^*$ pero, al menos para mí, se trata de una clase demasiado abstracta que no proporciona mucha intuición.

Por lo tanto, me pregunto si alguien tiene algunos buenos ejemplos de álgebras de Banach que fallan el $C^*$ identidad pero, por otro lado, son lo suficientemente elementales como para proporcionar intuición y cálculo directo, como las álgebras de funciones.

Gracias.

Answer 1

Añadiendo la suposición de que estás preguntando sobre Banach $*$ -álgebras con involución isométrica, tu pregunta ¿Por qué $\ell^1(\mathbb{Z})$ no un $C^{*}$ -¿Álgebra? tiene el ejemplo $\ell^1(\mathbb Z)$ .

Otra es el álgebra de funciones analíticas acotadas en el disco unidad con norma sup e involución $f^{*}(z)=\overline{f(\overline z)}$ .

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Usted menciona matrices, e implícitamente parece estar asumiendo que $M_n$ recibe la norma de operador de actuar como operadores en $\mathbb C^n$ con el producto interior estándar, o equivalentemente $\|a\|=\sqrt{\text{the spectral radius of }a^*a}$ donde $a^*$ es la transposición conjugada de $a$ . Pero si das $M_n$ otra norma submultiplicativa que haga que la transposición conjugada sea preservadora de la norma, entonces no se tendrá una $C^*$ -álgebra. Un ejemplo es la norma de Frobenius, también conocida como norma de Hilbert-Schmidt, $\|a\|=\sqrt{\mathrm{Trace}(a^*a)}$ .

Dices que las matrices triangulares superiores satisfacen la $C^*$ -identidad, pero no está claro qué significa eso cuando no tienen involución. Si se pregunta por $*$ -entonces subálgebras de $*$ -que no estén cerradas bajo la involución quedan fuera de juego.

El primer ejemplo anterior, $\ell^1(\mathbb Z)$ , encaja en una visión más amplia de considerar el Banach $*$ -álgebra $L^1(G)$ de un grupo Hausdorff localmente compacto $G$ con medida de Haar, que a veces surge en el estudio de las representaciones de grupos.

Una cosa que hace $\ell^1(\mathbb Z)$ más interesante que $M_n$ con la norma de Frobenius como ejemplo es que $\ell^1(\mathbb Z)$ ni siquiera es isomorfa como álgebra a cualquier $C^*$ -álgebra.

Answer 2

Debo decir que me parece impar (y un poco preocupante) que se puedan encontrar libros de texto en los que se aprenda la definición de un álgebra de Banach (e incluso de una *álgebra de Banach) sin ver ejemplos que no sean $C^*$ -álgebras. La vida es algo más que $B(H)$ ...

En fin, algunos ejemplos conmutativos que son naturalmente álgebras de funciones. En todos los casos la involución es sólo conjugación de funciones.

1) Para $G$ un grupo abeliano localmente compacto (piénsese en ${\mathbb Z}^k$ o ${\mathbb T}^k$ o ${\mathbb R}^k$ ) con grupo dual $\Gamma$ Toma $$A(G) = \{ f\in C_0(G) \mid \widehat{f} \in \ell^1(\Gamma) \} $$ la llamada álgebra de Fourier de $G$ . (Se puede definir $A(G)$ para grupos arbitrarios localmente compactos, pero la definición es más técnica).

2) Álgebras de funciones Lipschitz/H\"older. Tome su espacio métrico compacto favorito $(X,d)$ Toma un poco $0<\alpha<1$ y defina $$ L_\alpha(f) = \sup_{x,y\in K; x\neq y} \frac{ \vert f(x)-f(y) \vert }{d(x,y)^\alpha} $$ entonces toma $$ {\rm Lip}_\alpha(X,d) = \{ f: X\to {\mathbb C} \mid L_\alpha(f)<\infty \} $$ equipado con la norma $\Vert f \Vert_\alpha := \Vert f\Vert_{\infty} + L_\alpha(f)$ .

3) El álgebra $C^k[0,1]$ de $k$ -continuamente diferenciables sobre $[0,1]$ (para $k\geq 1$ ), dotada de la norma natural construida a partir de las supnormas de las derivadas.

Si estás dispuesto a considerar las álgebras de Banach sin involución, entonces hay ${\rm many}^{\rm many}$ más ejemplos.