Hay una diferencia entre permitir sólo contables de uniones e intersecciones, y permitiendo arbitraria (posiblemente incontables) uniones e intersecciones?

Question

Como en el título, estoy preguntando si existe una diferencia entre permitir conjunto teórico de las operaciones sobre arbitrariamente muchos conjuntos, y la restricción a sólo countably muchos conjuntos.

Por ejemplo, la definición estándar de una topología en un conjunto $X$ requiere arbitrario sindicatos de abrir los conjuntos son abiertos. ¿Se pierde algo significativo si puedo restringir esta a sólo los sindicatos de countably muchos (abierto)?

Yo no puede venir con un ejemplo donde se hace una diferencia.

Answer 1

*Edición:*originalmente me deje $X$ ser sólo un espacio de Hausdorff, pero en caso de que los dos no están garantizados para ser diferente.

He aquí un ejemplo para ver una donde se hace una diferencia. Deje $X$ ser un incontable polaco espacio. Si usted mira en el más pequeño de la colección de subconjuntos de a $X$ que: a) contiene todos los bloques abiertos de $X$ y b) es cerrado bajo complementa y contables de los sindicatos (de ahí también contables intersecciones), se obtiene la Borel $\sigma$-álgebra de $X$.

Pero si nos fijamos en el más pequeño de la colección de subconjuntos de a $X$ que: a) contiene todos los bloques abiertos y b) es cerrado bajo complementa y arbitraria de los sindicatos (de ahí también arbitraria intersecciones), esto es $\cal{P}$$(X)$. Esto es debido a que incluye todos los conjuntos cerrados, por lo tanto, todos los embarazos únicos, y luego podemos tomar un arbitraria de la unión para obtener cualquier subconjunto de a $X$.

Answer 2

Sí, hace una diferencia. He aquí un ejemplo muy sencillo. Deje $D$ ser cualquier multitud innumerable; llévelo a ser $\Bbb R$, si quieres ser muy específico. Deje $\mathscr{A}=\{X\}\cup\{A\subseteq D:A\text{ is countable}\}$. La familia $\mathscr{A}$ es cerrado bajo intersecciones finitas y contables de los sindicatos, pero no es una topología, porque no es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos. En particular, si $F$ es no-vacío subconjunto finito de $D$,$D\setminus F\notin\mathscr{A}$. Sin embargo, la topología en $D$ generado por $\mathscr{A}$ es la topología discreta, en la que cada subconjunto de $D$ es abierto, ya que cada subconjunto de $D$ es la unión de contables (de hecho finito) de subconjuntos de a $D$: si $A\subseteq D$, $$A=\bigcup_{x\in A}\{x\}\;.$$

Answer 3

Deje $X$ ser una multitud innumerable. Vamos \[ \tau = \{ O \subseteq X \a mediados de O = X \text{ o } O \text{ es en la mayoría de los contables}\} \] A continuación, $\tau$ contiene $\emptyset$$X$, es cerrado bajo intersecciones finitas y bajo contables de los sindicatos. Pero no es una topología en $X$ ya que no es cerrado bajo arbitraria de los sindicatos. Lo que hace una diferencia.