Calcula una matriz diagonalizable cercana a la matriz exponencial

Question

Se sabe que para cualquier matriz $A$ se puede perturbar $A$ ligeramente para que el resultado $A(\epsilon)$ es diagonalizable.

Me pregunto si para cualquier matriz $A$ , $\epsilon>0$ existe un algoritmo para calcular un diagonalizable matriz $A(\epsilon)$ tal que

$$\|e^A - e^{A(\epsilon)}\|_2\leq \epsilon$$

Aquí $e^A$ es la matriz exponencial, y $\|\cdot\|_2$ es la 2-norma.

Answer 1

Una matriz $A$ es diagonalizable sobre el campo de los números complejos si todos los valores propios de $A$ son distintos. Para ver esto consideremos la descomposición de Jordan $A = VJV^{-1}$ où $J$ es una matriz compleja en la forma de Jordan. Si todos los valores propios de $A$ son distintos, entonces $J$ contiene sólo bloques de tamaño $1\times 1$ Por lo tanto $J$ es diagonal.

Para calcular una perturbación, que haga quex $A$ diagonalizable considere la factorización compleja de Schur de $A$ es decir $A = UTU'$ où $U$ es unitaria y $T$ es triangular superior con entradas complejas, y $U'$ denota la transposición conjugada. Diagonal de $T$ contiene valores propios de $A$ .

Dejemos que $\tilde{A} = U(T+D)U'$ où $D$ es una matriz diagonal, tal que todos los elementos diagonales de $T+D$ son distintos y $\|D\|_2\leq \mu$ para algunos $0 < \mu \leq 1$ . Esta matriz se puede construir fácilmente. Entonces $\tilde{A} = A + UDU'\equiv A + P$ y $\|P\|_2 = \|D\|_2 \leq \mu$ . La matriz $\tilde{A}$ es diagonalizable.

Para dos matrices cualesquiera $X$ , $Y$ y cualquier norma matricial: $$\|e^{X+Y} - e^X\| \leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}$$ Así, $$\|e^{A+P} - e^A\|_2 \leq \|P\|_2e^{\|A\|_2}e^{\|P\|_2} \leq \mu e^{\|A\|_2}e^{\mu} \leq \mu e^{\|A\|_2 + 1}$$ Si tomamos $\mu = \min(1,\epsilon / e^{\|A\|_2 + 1})$ entonces $\|e^{A+P} - e^A\|_2\leq \epsilon$ .

Para una matriz real $A$ que contiene valores propios complejos no es posible encontrar una pequeña perturbación $P$ , de tal manera que $A + P$ es diagonalizable sobre el campo de los números reales, pero es posible si $A$ sólo tiene valores propios reales. Entonces, esta construcción se puede repetir utilizando la factorización real de Schur.