Conjetura $\int_0^1\frac{\ln^2\left(1+x+x^2\right)}x dx\stackrel?=\frac{2\pi}{9\sqrt3}\psi^{(1)}(\tfrac13)-\frac{4\pi^3}{27\sqrt3}-\frac23\zeta(3)$

Question

Estoy interesado en la siguiente integral definida: $$I=\int_0^1\frac{\ln^2\!\left(1+x+x^2\right)}x\,dx.\tag1$$ La correspondiente antiderivada pueden ser evaluadas con Mathematica, pero incluso después de que la simplificación es bastante torpe. Esto coincide con los resultados de la integración numérica, y su corrección puede potencialmente ser verificado por la mano mediante la diferenciación. Por lo tanto, estamos seguros de que una forma cerrada existe para $I$, aunque complicado.

Mi programa para un numérica búsqueda de formas cerradas que se encuentra mucho más simple candidato:

$$I\stackrel{\color{gray}?}=\frac{2\pi}{9\sqrt3}\psi^{\small(1)}\!\left(\tfrac13\right)-\frac{4\pi^3}{27\sqrt3}-\frac23\zeta(3).\tag2$$

Tenga en cuenta que el trigamma valor puede ser expresado en términos de la dilogarithm de argumento complejo (véase la fórmula $(5)$ aquí) o de la $2^{nd}$ orden armónico número de fracciones de argumento: $$\begin{align}\psi^{\small(1)}\!\left(\tfrac13\right)&=\frac{2\pi^2}3+2\sqrt3\,\Im\,\operatorname{Li}_2\!\left[(-1)^{\small1/3}\right],\tag3\\\psi^{\small(1)}\!\left(\tfrac13\right)&=\frac{\pi^2}6+9-H^{\small(2)}_{\small1/3}.\tag4\end{align}$$ Podemos probar a $(2)$, preferiblemente no va a través de la enorme intermedio antiderivada?

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Una posible dirección en la que pensé es factor del polinomio bajo el logaritmo: $$I=\int_0^1\Big[\ln\!\left(x+(-1)^{\small1/3}\right)+\ln\!\left(x-(-1)^{\small2/3}\right)\Big]^2x^{-1}\,dx.\tag5$$ Después de la expansión de los corchetes, Mathematica puede encontrar una antiderivada más simple . Podemos llegar a $(2)$ siguiendo esta dirección manualmente?

Answer 1

1. Reemplace$\ln(1+x+x^2)$$\ln(1-x^3)-\ln(1-x)$.

2. Dos de la resultante de las integrales son fáciles de calcular: $$\int_0^1\frac{\ln^2\left(1-x^3\right)dx}{x}=\frac13\int_0^1\frac{\ln^2\left(1-x\right)dx}{x}=\frac{2\zeta(3)}{3}.$$

3. Mathematica calcula y fullsimplifies el resto no trivial integral de la $\int_0^1\frac{\ln\left(1-x\right)\ln\left(1-x^3\right)dx}{x}$ a de una línea de expresión que contiene una suma de dos trilogarithms $\operatorname{Li}_3(z_1)+\operatorname{Li}_3(z_2)$.

4. Lo que ocurre es que $z_1+z_2=1$, por lo tanto gracias a Landen la identidad de la anterior suma es igual a $$-\operatorname{Li}_3\left(\frac{z_1}{z_1-1}\right)+\zeta\left(3\right)+\text{elementary}.$$

5. Por último, se da la circunstancia de que $\frac{z_1}{z_1-1}=e^{2\pi i/3}$ y la correspondiente trilogarithmic valor se conoce en términos de $\zeta(3)$.

En total, este debería llevar a su respuesta.