Ejemplos de los diferentes puntos de invariantes topológicos

Question

En mi primera topología algebraica clase, recuerdo que me dijo que la razón más sencilla de homología fue para distinguir espacios. Por ejemplo, si es X=círculo y Y= cuña de un círculo y una 2-esfera, entonces X y y tienen el mismo grupo fundamental, por lo que el grupo fundamental no es lo suficientemente fuerte como para distinguirlos. Tenemos que mirar a los otros homotopy o de grupos de homología de distinguirlos. Estoy buscando una variedad de otros ejemplos de esta naturaleza. Los ejemplos que me pregunto acerca de son

1. Misma homología de grupos
2. Mismo cohomology grupos, pero diferentes cohomology de los anillos
3. Mismo cohomology de los anillos (pero tal vez diferentes Steenrod operaciones?)

Si pongo más pensaba en él, con otras preguntas como estas. Otros ejemplos/pensamientos a lo largo de estas líneas sería muy bienvenido! (Tengo ejemplos para la primera, pero me pregunto lo que otros dicen.)

Answer 1

Aquí está uno para el número 2 que es bastante estándar. Deje $X$ $S^2$ con dos circuitos conectados a la misma en los puntos. A continuación, el cohomology grupos se $\mathbb{Z},\mathbb{Z}^2,\mathbb{Z}$, y hemos visto que en algún otro lugar: el toro $S^1\times S^1$. Sin embargo, la copa del producto es diferente, porque es trivial en la esfera, con bucles, pero no trivial en el toro.

Answer 2

Para cambiar la naturaleza de las respuestas de algunos, la OMI un buen teorema de pensar en el Kan-Thurston teorema. Afirma que, dado cualquier espacio de $X$ usted puede encontrar una $K(\pi, 1)$ espacio $Y$ y un mapa de la $f : Y \to X$ inducción de isomorphisms $f_* : H_i Y \to H_i X$, $f^* : H^i X \to H^i Y$ para todos los coeficientes (puede ser modificado para permitir local coeficientes) y todos los $i$. El mapa de $\pi_1 Y \to \pi_1 X$ es sobre.

Así que desde el punto de vista de cohomology álgebras con Steenrod operaciones, estos espacios son los mismos. Una forma de "spin" este sería decir que el grupo fundamental es mucho más fuerte invariante de nada (co)homológica.

Answer 3

He aquí un divertido uno: dos espacios con TODOS los homotopy grupos idénticos, pero que no se homotopy equivalente: $\mathbb{RP}^2\times S^3$$S^2\times\mathbb{RP}^3$. Ambos tienen $\pi_1=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, y tienen la misma cobertura universal, para todos los mayores homotopy grupos son los mismos. Sin embargo, su homología les distingue, como recuerdo.

Answer 4

Para 1 y 2, considere la posibilidad de la $S^2$ paquetes de más de $S^4$ (con estructura de grupo SO(3)). El uso de embrague funciones, uno puede ver que hay un $\mathbb{Z}$s valor de tales paquetes indexados por, digamos, k.

El uso de la Gysin secuencia, uno encuentra que la cohomology de los grupos (y homología de grupos) son los mismos que los de $S^2\times S^4$, principalmente, a $\mathbb{Z}$ en la dimensión 0,2,4, y 6, y 0 en otro lugar.

Sin embargo, para $k\neq \pm k'$ los paquetes correspondientes a $k$ $k'$ han nonisomorphic estructuras de anillo.

Por la dualidad de Poincaré, la única pregunta acerca de la estructura de anillo es la siguiente: ¿cuál es el cuadrado de la de grado 2 generador? Resulta, la plaza de el grado dos del generador es igual a $\pm k$ multiplicado por el cuadrado de la grado 4 generador. Por cierto, el caso de $k=1$, se obtiene el cohomology estructura de anillo de $\mathbb{C}P^3$. De hecho, el espacio total del paquete es diffeomorphic a $\mathbb{C}P^3$.

Para su tercera pregunta, me gustaría inspeccionar $S^5$ paquetes de más de $S^2$. De nuevo, agarrando el análisis de la función, no debe ser precisamente dos de estos paquetes - el trivial paquete y otro. Por el Gysin secuencia, estos deben tener el mismo cohomology de los grupos y por la dualidad de Poincaré, las estructuras de anillo en efecto, de acuerdo.

Sin embargo, la segunda Stieffel Whitney clase de la trivial paquete es trivial, mientras que el segundo Stieffel Whitney clase de la trivial paquete es trivial, y por lo tanto el total de dos espacios no son homotopy equivalente. (Stieffel Whitney clases están estrechamente relacionadas con Steenrod operaciones).

Y sólo para anticipar, los espacios de $S^3\times \mathbb{R}P^2$ $S^2\times \mathbb{R}P^3$ tienen todas el mismo homotopy grupos, pero no son homotopy equivalente (como homología le dicen).