¿Cómo puedo realizar la transición conceptual de cálculo multivariable a formas diferenciales?

Question

Una manera de definir el álgebra de formas diferenciales $\Omega(M)$ on a smooth manifold $M$ (as explained by John Baez's week287) is as the exterior algebra of the dual of the module of derivations on the algebra $C^{\infty}(M)$ of smooth functions $M \to \mathbb{R}$. Dado que las derivaciones son campos vectoriales, 1-formas de envío campos vectoriales a las funciones lisas, y algunos handwaving sobre los elementos del área sugiere que las k-formas debe ser construido a partir de 1-formas en un anticommutative de la moda, estoy casi dispuesto a aceptar esta definición como debidamente motivado.

Ahora se puede definir el exterior derivado $d : \Omega(M) \to \Omega(M)$ by defining $d(f dg_1\ \dots\ dg_k) = df\ dg_1\ \dots\ dg_k$ y se extiende por la linealidad. Estoy casi dispuesto a aceptar esta definición como debidamente motivadas así.

Ahora, en el exterior de derivados (junto con la estrella de Hodge y algunos chanchullos) generaliza los tres principales operadores de cálculo multivariable: la divergencia, la pendiente y la curvatura. Mi intuición acerca de las definiciones y propiedades de estos operadores proviene en su mayoría de básica E&M, y cuando pienso en los casos especiales de Stokes teorema de div grad, y rizado, pienso en el "del físico de las pruebas." Lo que no estoy seguro de cómo hacerlo, sin embargo, es relacionar este de la abajo-a-tierra contexto con el alto concepto algebraico contexto descrito anteriormente.

Pregunta: ¿Cómo puedo ver conceptualmente que las formas diferenciales y el exterior de la derivada, como se definió anteriormente, naturalmente, las interpretaciones físicas de generalizar el "ingenuo" interpretaciones físicas de la divergencia, la pendiente y la curvatura? (Por "conceptualmente" me refiero a que es muy insatisfactorio sólo para escribir las definiciones y la informática.) Y ¿cómo puedo obtener intuición física para la generalización de Stokes teorema?

(Una respuesta en la forma de un libro de texto que se presta especial atención a la relación entre las cosas abstractas y la intuición física sería fantástico.)

Answer 1

Hay un libro que no muchos físicos sé de parecer (excepto los matemáticos, los físicos, por supuesto), sino que es una verdadera joya en los ojos de los matemáticos: me refiero a V. Arnold Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica, aquí en amazon.

En este libro, que está en la lista corta (número 12, para ser precisos) de mi fundamental el libro de matemáticas en todos los campos de las matemáticas, en el Capítulo VIII está dedicado enteramente a formas diferenciales.

Si usted lee, usted tiene, yo creo, una excelente respuesta.

Una pequeña sugerencia para construir la comprensión: DISCRETIZAR. No creo que de la fantasía integrales, simplemente creo que 0-formas son escalares, 1-formas segmentos orientados, 2-formas orientado a las áreas, y que la integración es simplemente sumas. Ahora "demostrar" teorema de Stokes para una sencilla pequeños cubos, y observe que la definición de los derivados de las formas es exactamente el hecho de seguir la pista de las caras. En el nivel infinitesimal, es solo libro de mantenimiento.

Si alguna vez me tenía que enseñar una clase básica en las formas, me gustaría hacer precisamente eso: discretizar primera.

Answer 2

He luchado con esta pregunta a mí mismo, y yo no podía encontrar una perfecta respuesta satisfactoria. Al final, decidí que la definición de una forma diferenciada es un lugar extraño compromiso entre la intuición geométrica y algebraica de la simplicidad, y que no puede ser motivada por cualquiera de estos por sí mismo. Aquí, por intuición geométrica me refiero a la idea de que las "formas diferenciales son cosas que pueden ser integrados" (como en Bachmann notas), y por algebraicas sencillez me refiero a la idea de que son lineales.

Las dos partes de la definición que hacen perfecto sentido geométrico son el d y el operador de la cuña de producto. El operador d es simplemente que el operador para que Stokes teorema sostiene, a saber, en el caso de integrar d de una n-forma a través de una n+1dimensiones del colector, se obtiene la misma cosa, como si usted integrada de la forma en la n-dimensional de la frontera.

La cuña de producto es un poco más difícil de ver geométricamente, pero en los hechos es la correcta analogía con el producto de la medida. He aquí cómo funciona para uno-formas. Suponga que tiene dos formas una y b (en un espacio vectorial, por simplicidad). Piense en ellos como una forma de medición de longitudes, y supongamos que se desea medir área. He aquí cómo hacerlo: escoger un vector $\vec v$ such that $a(\vec v) \neq 0$ but $b(\vec v) = 0$ and a vector $\vec w$ s.t. $a(\vec w) = 0$ but $b(\vec w) \neq 0$. Declare the area of the parallelogram determined by $\vec v$ and $\vec w$ to be $a(\vec v) \cdot b(\vec w)$. By linearity, this will determine area of any parallelogram. So, we get a two-form, which is in fact precisely $a \wedge b$.

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Ahora, la parte que no tiene sentido para mí geométricamente es la razón por la que el infierno de formas diferenciales tiene que ser lineal. Esto implica todo tipo de cosas que parece contra-intuitivo para mí; por ejemplo, siempre hay una dirección en la cual una sola forma es cero, y por lo tanto para cualquier forma usted puede dibujar una curva cuya "longitud" con respecto a la forma es igual a cero. De manera más general, cuando yo estaba aprendiendo acerca de las formas, yo estaba acostumbrado a medidas como esas cosas que nos integran, y todavía veo ninguna geométrica de razón de por qué las medidas (y, en particular, las áreas) no son formas.

Sin embargo, esto hace perfecto sentido algebraicamente: a nosotros nos gusta lineal de las formas, que son simples. Por ejemplo (según Bachmann), su linealidad es lo que permite que el operador diferencial d ser definidos de tal manera que Stokes teorema sostiene. En última instancia, sin embargo, creo que la justificación para esto son todos los de corto y dulce fórmulas (por ejemplo, Cartan de la fórmula) que hacer todo tipo de cálculos más fácil, y todos dependen de esta linealidad. También, la crucial mágico hecho de que d-s, cuñas, interior y productos de formas diferenciales siguen siendo formas diferenciales de las necesidades de esta linealidad.

Por supuesto, si queremos ser lineal, que también será firmado, y por consiguiente, las medidas no serán formas diferenciales. Para mí, esto parece como un pequeño sacrificio de la geometría para el bien de álgebra. Aún así, yo no creo que es posible motivar a las formas diferenciales por álgebra solo. En particular, la única manera de explicar a mí mismo ¿por qué tomar el "Alt" de un producto de formas en la definición de la cuña producto es el geométrica explicación arriba.

Entonces, creo que la motivación y el poder detrás de las formas diferenciales es que, sin enteramente pertenecientes a la algebraicas y geométricas de los mundos, que sirven como un bonito puente en el medio. Una cosa que me hizo más feliz de todo esto es que, una vez que usted acepta su definición como un dado y se acostumbre a ella, la mayoría de las pruebas (de nuevo, estoy pensando de Cartan de la fórmula) puede ser entendido con la intuición geométrica.

Huelga decir que, si alguien puede mejorar en cualquier de los de arriba, voy a estar muy agradecido a ellos.

P. S. Por el bien de la integridad: creo que "el interior de los productos de" hacer perfecto algebraicas sentido, pero son fáciles de ver geométricamente así.

Answer 3

El gran libro de La Geometría de la Física (2ª edición) por Frankel podría ser exactamente lo que usted necesita, consulte los extractos aquí.

Answer 4

No estoy convencido de que esto es lo que usted está buscando, Qiaochu, pero creo que vale la pena mencionar de todos modos.

Como alguien que no tiene ningún sentido real de "física de la intuición", y que, probablemente, no por casualidad -- odiaba a su clase de cálculo multivariable, me he encontrado (lo que he leído de) David Bachman es Un enfoque geométrico de formas diferenciales a ser muy intuitiva. Mejor de todo es que está disponible de forma gratuita en línea.

Answer 5

He aquí un esbozo de la relación entre el div-grad-curl y el complejo de de Rham, en caso de que usted podría encontrar útil.

La primera cosa a realizar es que el div-grad-curl historia está indisolublemente ligada a la de cálculo en un espacio tridimensional euclidiano. Esto no es sorprendente si se considera que este material se usa para ir por el nombre de "cálculo vectorial" en un momento cuando un físico de la definición de un vector fue "una cantidad con la magnitud y la dirección". Por lo tanto el producto interior es parte esencial del bagaje como es la tridimensionalidad (en la apariencia del producto cruz de los vectores).

En un espacio tridimensional euclidiano usted tiene el interior del producto y de la cruz del producto y esto permite escribir la de Rham secuencia en términos de div, de posgrado y de la curvatura de la siguiente manera: $$ \matriz{ \Omega^0 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^1 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^2 & \stackrel{d}{\longrightarrow} & \Omega^3 \cr \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \cr \Omega^0 & \stackrel{\mathrm{grad}}{\longrightarrow} & \mathcal{X} & \stackrel{\mathrm{curl}}{\longrightarrow} & \mathcal{X} & \stackrel{\mathrm{div}}{\longrightarrow} & \Omega^0 \cr}$$ donde $\mathcal{X}$ es sinónimo de campos vectoriales y la vertical de mapas son, de izquierda a derecha, los siguientes isomorphisms:

1. la identidad: $f \mapsto f$
2. el musical isomorfismo $X \mapsto \langle X, -\rangle$
3. $X \mapsto \omega$, where $\omega(Y,Z) = \langle X, Y \times Z \rangle$
4. $f \mapsto f \mathrm{dvol}$, where $\mathrm{dvol}(X,Y,Z) = \langle X, Y \times Z\rangle$

hasta tal vez, un signo de aquí y de allá que yo soy demasiado perezoso para cazar.

La belleza de esto es que, en primer lugar, los dos cálculo vectorial identidades $\mathrm{div} \circ \mathrm{curl} = 0$ and $\mathrm{curl} \circ \mathrm{grad} = 0$ are now subsumed simply in $d^2 = 0$, y que mientras div grad, curl están atrapados en un espacio tridimensional euclidiano, el complejo de de Rham existe en cualquier variedad diferenciable sin ningún extra estructura. Enseñamos el idioma de formas diferenciales para nuestros estudiantes de pregrado en Edimburgo en su tercer año y esta es una manera de motivar.

Como para la integral teoremas, siempre me pareció Spivak del Cálculo de colectores para ser un buen libro.

Otra respuesta se menciona la Gravitación por Misner, Thorne y Wheeler. Personalmente he encontrado su tratamiento de formas diferenciales muy confuso cuando yo era un estudiante. Soy más feliz con la idea de un doble espacio vectorial que estoy con el "cajas de leche" que dibujar para ilustrar formas diferenciales. Wald, el libro de la Relatividad General había, a mi mente, una mucho mejor tratamiento de este tema.