¿Cuál es el límite de esta sucesión? Es difícil..

Question

Deje $a_0 > 0$

$a_{n+1} = \ln(a_n + 1)$

Demostrar que $\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\cdot a_n = 2$

Answer 1

Si usted no está acostumbrado a este tipo de pregunta, un proceso que a menudo funciona:

1) Demostrar que aquí la secuencia es decreciente y acotada:

$\ln(1+x) \leq x \implies a_{n+1} \leq a_n $ es decir $(a_n)$ disminuye.

Ahora usted puede probar por un trivial de inducción que $(a_n) \geq 0$.

$(a_n)$ es menor acotado, disminuyendo, por lo tanto converge $\rightarrow L$.

2) Evaluar L:

Usted puede tomar el límite en ambos lados de la relación recursiva : $L = \ln(L+1) $

Si el estudio de la función de $h: x \rightarrow x - \ln(1+x)$ , vas a ver que la única posibilidad de obtener h(x) = 0 es : x=0. Que demuestra que : L=0.

3) empujándolo más: $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$ ; al $u \rightarrow 0$

Usted obtiene : $ a_{n+1} = a_n - \frac{a_n^2}{2} + o(a_n^2) = a_n(1 - \frac{a_n}{2} + o(a_n)) $

Vamos a:$ v_n = a_n^{-1}$

=> $ v_{n+1} = v_n(1- \frac{a_n}{2} + o(a_n))^{-1} $

$(1-u)^{-1} = 1 + u +o(u)$ ; al $ u \rightarrow 0 $, quedando así:

$ v_{n+1} = v_n(1 +\frac{a_n}{2} + o(a_n)) = v_n + \frac{1}{2} + o(1) $

=> $ v_{n+1} -v_n = \frac{1}{2} + o(1) $

Aquí se puede decir que las sumas parciales de la parte son equivalentes, ya que $\sum \frac{1}{2}$ diverge a $+\infty$.

Usted obtener: $ v_{n} - v_0 $ ~ $v_n$ ~ $\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1} 1 = \frac{n}{2}$

Finalmente, le : $ a_n = v_n^{-1} $ ~$ \frac{2}{n}$ ; que es: $ na_n \rightarrow 2$

Answer 2

Para limitar el cálculo de proponer otra variante que es una combinación de un Lexema Stolz-Cesaro y la regla de L'Hospital:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}na_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\frac{1}{a_n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+1-n}{\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n\cdot a_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n\cdot \ln (1+a_n)}{a_n-\ln (1+a_n)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{x\cdot \ln (1+x)}{x-\ln (1+x)}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{ln(1+x)}{x}\cdot\frac{x^2}{x-\ln (1+x)}=1\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x}{1-\frac{1}{1+x}}=2.$$