Existencia y unicidad de $-\Delta u + u^3 =f$

Question

Quiero mostrar la existencia y unicidad de la ecuación de la forma $-\Delta u+u^3=f\in L^2(\Omega),\quad u=0~\mbox{on}~ \partial\Omega,~$ $\Omega\subset\mathbb{R}^3$acotado

Yo conozco una prueba de uso de Menta-Browder teorema y por el método directo del cálculo de variaciones, estoy en busca de otras pruebas. Cualquier sugerencias? ¿Qué acerca de la $\mathbb{R}^2$.

Yo estaría muy agradecido

Answer 1

Sólo para $n=3$. Vamos a la norma de $H_0^1(\Omega)$$L^p(\Omega)$$\|\cdot\|_2$$|\cdot|_p$. Nota: $H_0^1(\Omega)\hookrightarrow L^6(\Omega)$ es compacto. En primer lugar vamos a obtener a priori de las estimaciones. Multiplicando ambos lados de la ecuación por $u$ da $$ \|u\|_2^2+|u|_4^4=\int fudx\le \frac1{2}|f|^2_2+\frac1{2}|u|_2^2\le\frac{1}{4\epsilon}|f|^2_2+\frac1{2}\sqrt{|\Omega|}|u|_4. \tag{1}$$ A partir de esto, tenemos $\|u\|_2\le C,|u|_4\le C, |u|_6\le C$ algunos $C$ dependiendo $\Omega, f$. Deje $M=\{u\in H^1_0(\Omega): \|u\|_2\le C\}$. Ahora vamos a utilizar el punto fijo de Schauder teorema para demostrar la existencia de una solución. Tenga en cuenta que el problema $$ \left\{\begin{array}{ll}-\Delta u=h,&x\in\Omega\\ u=0,&x\in\partial\Omega\end{array}\right. $$ tiene una solución única para $h\in L^2(\Omega)$. Definir $u=Kh$ y, a continuación, $K: L^2(\Omega)\to L^2(\Omega)$ es compacto. La ecuación puede ser escrita como $$ \left\{\begin{array}{ll}-\Delta u=-u^3+f,&x\in\Omega\\ u=0,&x\in\partial\Omega\end{array}\right. $$ que puede ser escrito como $u=K(-u^3+f)$. Deje $Tu=K(-u^3+f)$. Ahora tenemos el primer espectáculo $T: M\to H^1_0(\Omega)$ es compacto. De hecho, vamos a $\{u_n\}\subset M$ ser acotada. Luego hay una larga, todavía se denota por a $\{u_n\}$ tal que $$ u_n\to u \text{ weakly in }H^1_0(\Omega)\text{ and strongly in } L^4(\Omega). $$ Deje $u_n^*=Tu_n$, es decir, $u_n^*\in H^1_0(\Omega)$ satisface $$ -\Delta u_n^*+u_n^3=f. \tag{2}$$ De forma similar, tenemos $\|u_n^*\|_2\le C$, lo que implica que no es $u^*\in H_0^1(\Omega)$ tal que $$ u_n^*\to u^* \text{ weakly in }H^1_0(\Omega)\text{ and strongly in } L^6(\Omega). $$ El uso de $u_n^*-u$ como una función de prueba en (2), tenemos $$ \int_{\Omega}|\nabla(u_n^*-u^*)|^2dx+\int_{\Omega}\nabla u^*\nabla(u_n^*-u^*)dx+\int_{\Omega}u_n^3(u_n^*-u^*)dx=\int_{\Omega}f(u_n^*-u^*)dx. $$ Dejando $n\to\infty$,$u_n^*\to u^*$$H^1_0(\Omega)$. Por lo $T$ es compacto. Es fácil mostrar que $T$ es continua. A continuación se muestra que el conjunto de

$$ \{x\in H_0^1(\Omega): x=\lambda Tx \text{ for }\lambda\in[0,1]\} $$ está acotada. Es equivalente a mostrar la solución de $$ -\Delta u=\lambda(-u^3+f) $$ está delimitado en $H_0^1(\Omega)$. Utilizando el mismo argumento que en (1), es fácil ver $\|u\|_2\le C$. Por lo tanto, por el Schauder teorema de punto fijo, $T$ tiene un punto fijo.