¿Cuál es la implicación de que $\| \cdot \|_2$ $\| \cdot \|_\infty$ son equivalentes las normas en $\mathbb{R^2}$

Question

Dado $\mathbb{X}$ = $\mathbb{R^2}$, considere la posibilidad de $\| \cdot \|_2$ $\| \cdot \|_\infty$

Podemos demostrar que

$\| x \|_\infty \leq \| x \|_2 \leq \sqrt2 \| x \|_\infty$

Por lo tanto $\| \cdot \|_2$ $\| \cdot \|_\infty$ son equivalentes las normas

Hay algunos más profunda implicación con respecto a esta relación particular? ¿Por qué nos importa si dos normas son equivalentes en este sentido?

Answer 1

Como señala Clemente C en los comentarios: Equivalente normas inducir la misma topología. También en el otro sentido de la implicación es verdadera: Cuando dos normas de inducir la misma topología entonces son equivalentes.

Tomar dos normas $\|\cdot\|_1$ $\|\cdot\|_2$ sobre un espacio vectorial y te preguntas a ti mismo: Cuando son las topologías de las normas de la misma? Este es el caso cuando se abra conjuntos para $\|\cdot\|_1$ también están abiertas en $\|\cdot\|_2$ y viceversa. Este es el caso cuando en cada pelota en $\|\cdot\|_1$ contiene un abierto de bola de $\|\cdot\|_2$ y la otra manera alrededor. A partir de esto se puede demostrar que no son constantes $c$ $C$ tal que $c\|\cdot\|_1 \le \|\cdot\|_2 \le C \|\cdot\|_1$.

Así que la respuesta a tu pregunta es: Dos normas son equivalentes si sus inducida por las topologías de la misma.

¿Cuál es el beneficio si dos topologías son las mismas? Si un "topológico de la propiedad" es válida para una norma, entonces es válido para la otra norma. Por ejemplo:

• Abierto, cerrado y compacto de los conjuntos de la misma.
• Si una secuencia converge en una norma, converge también en el resto de la norma.
• Si una secuencia es una secuencia de Cauchy en una norma es de Cauchy en el otro.
• ...

Answer 2

Algunas aplicaciones de este resultado y, más en general que todas las normas son equivalentes en finito dimensionales espacios:

• El compacto de los subespacios son el cerrado delimitado los espacios.
• Todos lineal mapas son continuas. Más generalmente, todos multilineal mapas son continuas.
• Todos lineal mapas están delimitadas en la unidad de la bola.