Determinante (e invertibilidad) de la matriz de Vandermonde generalizada

Question

Me he topado con la siguiente generalización de Vandermonde al resolver algún problema de álgebra lineal relacionado con la forma normal de Jordan.

Consideremos algún número $\lambda$ y asignamos a este número un $n\times m$ matriz $V_m(\lambda)$ tal que la primera columna es de la forma forma $(1,\lambda,\lambda^2,\dots,\lambda^{n-1})^T$ la segunda columna es de la forma $(0,1,2\lambda,\dots,(n-1)\lambda^{n-2})^T$ etc. Es decir, el $m$ -la columna será $(0,\dots,0,1,\binom{m}{m-1}\lambda,\dots,\binom{n-1}{m-1}\lambda^{n-m})$ , es decir $$V_m(\lambda)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \lambda^2 & 2\lambda & 1 & \ldots & 0 \\ \lambda^3 & 3\lambda^2 & 3\lambda & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda^{n-1} & (n-1)\lambda^{n-2} & \binom{n-1}2\lambda^{n-3} & \ldots & \binom{n-1}{m-1}\lambda^{n-m} \end{pmatrix}$$ En otras palabras, la entrada en $k$ -de la fila y $l$ -la columna es $\binom{k-1}{l-1}x^{k-l}$ .

Ahora bien, si tenemos algunos números $m_1,\dots,m_k$ tal que $m_1+\dots+m_k=n$ podemos definir un $n\times n$ -matriz $$V_{m_1,\dots,m_k}(\lambda_1,\dots,\lambda_k)= \begin{pmatrix}V_{m_1}(\lambda_1) & V_{m_2}(\lambda_2) & \dots & V_{m_k}(\lambda_k) \end{pmatrix}.$$

Por ejemplo, $$V_{3,2}(x,y)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ x & 1 & 0 & y & 1 \\ x^2 & 2x & 1 & y^2 & 2y \\ x^3 & 3x^2 & 3x & y^3 & 3y^2 \\ x^4 & 4x^3 & 6x & y^4 & 4y^3 \end{pmatrix} $$

Dicha matriz se denomina efectivamente matriz de Vandermonde generalizada por algunos autores, por ejemplo aquí o aquí . (Aunque el término Vandermonde generalizado matriz también se utiliza con diferentes significados, por ejemplo aquí .)

El determinante de la matriz de Vandermonde generalizada es $$\prod_{i<j} (\lambda_j-\lambda_i)^{m_im_j}.$$

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Ya tenemos en este sitio varias preguntas sobre la matriz de Vandermonde, por ejemplo Determinante de Vandermonde , Determinante de Vandermonde por inducción , La prueba del determinante de la matriz transpuesta de Vandermonde es $\prod_{1\le i\lt j\le n}(\alpha_i-\alpha_j)$ , ¿Por qué las matrices de Vandermonde son invertibles?

Varias derivaciones del determinante de la matriz de Vandermonde y también algunas pruebas del hecho de que es invertible (para distintas $\lambda_i$ 's) se dan en esas preguntas. Me pregunto sobre la misma cuestión para la matriz de Vandermonde generalizada.

¿Cómo podemos demostrar que la matriz de Vandermonde generalizada es invertible cuando $\lambda_i\ne\lambda_j$ ? ¿Cómo podemos evaluar el determinante de la matriz de Vandermonde generalizada?

Answer 1

Esta es una prueba de la invertibilidad de la matriz sólo, cuando la $\lambda_i$ son distintos.

Dejemos que $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}$ sean coeficientes tales que la correspondiente combinación lineal de las filas de $V_{m_1,\ldots,m_k}(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ es cero.

Denota por $P$ el siguiente polinomio:

$$P=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$$

La suposición equivale a que se cumplan las siguientes igualdades:

$\frac{P(\lambda_1)}{0!}=0,\frac{P'(\lambda_1)}{1!}=0,\ldots,\frac{P^{(m_1-1)}(\lambda_1)}{(m_1-1)!}=0$

$\frac{P(\lambda_2)}{0!}=0,\frac{P'(\lambda_2)}{1!}=0,\ldots,\frac{P^{(m_2-1)}(\lambda_1)}{(m_2-1)!}=0$

$\ldots$

Esto implica que cada uno de los siguientes polinomios divide $P$ : $(x-\lambda_1)^{m_1}$ , $(x-\lambda_2)^{m_2}$ , $\ldots$ , $(x-\lambda_k)^{m_k}$ .

Como el $\lambda_i$ son distintos, obtenemos: $P(x)=Q(x)\prod_{p=1}^{k}(x-\lambda_p)^{m_p}$ .

Como $P$ es de grado inferior a $n$ Esto da como resultado $Q=0$ Así que $P=0$ Así que todos los $a_i$ son cero.

Por lo tanto, la matriz $V_{m_1,\ldots,m_k}(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)$ tiene filas linealmente independientes; es invertible.

Answer 2

Se trata de una prueba bastante engorrosa, en la que he tratado de imitar el enfoque inductivo explicado por ejemplo aquí .

Veamos primero el paso inductivo para el caso de $V_{3,3}(x,y)$

$|V_{3,3}(x,y)|= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x & 1 & 0 & y & 1 & 0\\ x^2 & 2x & 1 & y^2 & 2y & 1\\ x^3 & 3x^2 & 3x & y^3 & 3y^2 & 3y \\ x^4 & 4x^3 & 6x^2 & y^4 & 4y^3 & 6y^2\\ x^5 & 5x^4 & 10x^3 & y^5 & 5y^4 & 10y^3 \end{vmatrix}\overset{(1)}= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & y-x & 1 & 0\\ 0 & x & 1 & y^2-xy & 2y-x & 1\\ 0 & x^2 & 2x & y^3-xy^2 & 3y^2-2xy & 3y-x \\ 0 & x^3 & 3x^2 & y^4-xy^3 & 4y^3-3xy^2 & 6y^2-3xy\\ 0 & x^4 & 4x^3 & y^5-xy^4 & 5y^4-4xy^3 & 10y^3-6xy^2 \end{vmatrix}\overset{(2)}= \begin{vmatrix} 1 & 0 & (y-x)1 & 1 & 0\\ x & 1 & (y-x)y & 2y-x & 1\\ x^2 & 2x & (y-x)y^2 & 3y^2-2xy & 3y-x \\ x^3 & 3x^2 & (y-x)y^3 & 4y^3-3xy^2 & 6y^2-3xy\\ x^4 & 4x^3 & (y-x)y^4 & 5y^4-4xy^3 & 10y^3-6xy^2 \end{vmatrix}\overset{(3)}= (y-x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ x & 1 & y & 2y-x & 1\\ x^2 & 2x & y^2 & 3y^2-2xy & 3y-x \\ x^3 & 3x^2 & y^3 & 4y^3-3xy^2 & 6y^2-3xy\\ x^4 & 4x^3 & y^4 & 5y^4-4xy^3 & 10y^3-6xy^2 \end{vmatrix}\overset{(4)}= (y-x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x & 1 & y & y-x & 1\\ x^2 & 2x & y^2 & 2y^2-2xy & 3y-x \\ x^3 & 3x^2 & y^3 & 3y^3-3xy^2 & 6y^2-3xy\\ x^4 & 4x^3 & y^4 & 4y^4-4xy^3 & 10y^3-6xy^2 \end{vmatrix}\overset{(5)}= (y-x)^2 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x & 1 & y & 1 & 1\\ x^2 & 2x & y^2 & 2y & 3y-x \\ x^3 & 3x^2 & y^3 & 3y^2 & 6y^2-3xy\\ x^4 & 4x^3 & y^4 & 4y^3 & 10y^3-6xy^2 \end{vmatrix}\overset{(6)}= (y-x)^2 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x & 1 & y & 1 & 0\\ x^2 & 2x & y^2 & 2y & y-x \\ x^3 & 3x^2 & y^3 & 3y^2 & 3y^2-3xy\\ x^4 & 4x^3 & y^4 & 4y^3 & 6y^3-6xy^2 \end{vmatrix}\overset{(7)}= (y-x)^3 \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ x & 1 & y & 1 & 0\\ x^2 & 2x & y^2 & 2y & 1 \\ x^3 & 3x^2 & y^3 & 3y^2 & 3y\\ x^4 & 4x^3 & y^4 & 4y^3 & 6y^2 \end{vmatrix}\overset{(8)}= (y-x)^3|V_{2,3}(x,y)| $

(1): Restando cada fila $x$ -veces de la siguiente fila.
(2): Expansión de Laplace con respecto a la primera columna.
(4): Restando la columna 3 de la columna 4.
(6): Restando la 4ª columna de la 5ª columna.

Basándose en los cálculos anteriores, parece razonable conjeturar que $$|V_{m_1,\dots,m_k}(\lambda_1,\dots,\lambda_k)|= \prod_{j=2}^k (\lambda_j-\lambda_1)^{m_j} |V_{m_1-1,\dots,m_k}(\lambda_1,\dots,\lambda_k)| \tag{A}.$$

Usando (A) ya podríamos demostrar la fórmula general usando la inducción; en la inducción obtendríamos como término que contiene $(\lambda_j-\lambda_1)$ lo siguiente: $$(\lambda_j-\lambda_1)^{m_j}(\lambda_j-\lambda_1)^{(m_1-1)m_j}=(\lambda_j-\lambda_1)^{m_1m_j}.$$

La prueba de (A) parece ser simplemente comprobar que los coeficientes binomiales que aparecen en esta matriz se comportan en general de la misma manera que en el ejemplo anterior, al hacer las mismas operaciones. Parece bastante engorroso escribir esto en detalle, así que no lo he hecho. Sólo diré que al restar las filas obtendremos $$\binom{k-1}{l-1}\lambda_1^{k-l}-\lambda_1\binom{k-2}{l-1}\lambda_1^{k-l-1}=\lambda_1^{k-l}\left(\binom{k-1}{l-1}-\binom{k-2}{l-1}\right)= \lambda_1^{k-l}\binom{k-2}{k-2}$$ cuando se trabaja en el primer bloque y $$\binom{k-1}{l-1}\lambda_j^{k-l}-\lambda_1\binom{k-2}{l-1}\lambda_j^{k-l-1}$$ para el bloque correspondiente a $\lambda_j$ . Queda por comprobar que en el primer bloque tenemos efectivamente las entradas de la matriz del grado $(n-1)$ y que todo funcione también para las operaciones de columna.