Los números reales como elemento de un universo

Question

defn. Un universo es un conjunto $U$ tal forma que:

1. $x\in u\in U\Rightarrow x\in U$

2. $u\in U$ $v\in U$ implican $\left\{u,v\right\}, \langle u,v\rangle, u\times v\in U$

3. $x\in U\Rightarrow \mathcal{P}(x)$ $\cup x\in U$

4. $\omega\in U$

5. si $f:x\longrightarrow y$ es un surjective asignación de con $x\in U$ $y\subseteq U$ $y\in U$

Preguntas:

1) es el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales un elemento de $U$?

2) en caso afirmativo, ¿cómo puede ser demostrado?

Answer 1

Permítanme esbozar una prueba. Como se ha indicado anteriormente en un comentario, la única parte no trivial es definir realmente lo $\Bbb R$ es. En la teoría de conjuntos, es común que simplemente se deje $\Bbb R := \mathcal P(\omega)$ y en este caso, de inmediato nos tiene que $\Bbb R \in U$. Sin embargo, esta definición no es muy común entre los no-conjunto de teóricos, y por lo tanto, deseo esbozar un enfoque diferente, el uso de Dedekind cortes (como drhab sugerido).

Primero de todo, vamos a definir $\Bbb Z := \{ (a,b) \in \omega \times \omega \mid a = 0 \vee b = 0 \}$. Podemos pensar de $(a,b)$ como el entero $a-b$. Generalmente, la parte "$a = 0 \vee b = 0$" se omite y simplemente se define una relación de equivalencia $\sim$ $\omega \times \omega$ dejando $(a,b) \sim (c,d)$ fib $a+d = c+b$ (que en nuestro sangría interpretación sólo significa que $a-b = c-d$. Sin embargo, no podemos escribir esto hasta que de hecho definen $-$. Tenga en cuenta que en contraste $+$ se define, como de costumbre ordinal).

Claramente $\Bbb Z \subseteq \omega \times \omega$ y, por tanto,$\Bbb Z \in \mathcal P(\omega \times \omega)$. Ya, $\omega, \omega \times \omega$ $\mathcal P(\omega \times \omega)$ son elementos de $U$, ahora obtenemos que $\Bbb Z \in U$ así, por la condición 1.

A continuación, vamos a definir $\Bbb Q = \{ (p,q) \in \Bbb Z \times \omega \mid q \neq 0 \wedge (p,q) = 1 \}$. Aquí $(p,q) = 1$ significa que $p$ $q$ son coprime. Yo se lo dejo a usted para formalizar el presente. (Hay dos casos, dependiendo de si $p = (a,0)$ o $p = (0,b)$ y ambos son triviales.) De nuevo, por lo general se define $\Bbb Q$ $\Bbb Z \times (\omega \setminus \{0\})$ y se lleva a la evidente cociente de esto, como en el caso de $\Bbb Z$. Repitiendo el argumento anterior, podemos ahora obtener ese $\Bbb Q \in U$.

Esto nos permite definir $\Bbb R$: decimos que $C \subseteq \Bbb Q$ es un corte iff $C \not \in \{ \emptyset, \Bbb Q \}$, $C$ es a la baja cerrada, es decir, por cada $p \in C$ y cada una de las $q \in \Bbb Q$$q < p$,$q \in C$, e $C$ no $<$-elemento maximal. (Tenga en cuenta que nosotros no definir el orden de $(\Bbb Q; <)$, y que realmente no necesita hacer esto - formalmente. Podemos trabajar con nuestra idea intuitiva de $<$$\Bbb Q$. Es, sin embargo, no es difícil de definir $<$ como un conjunto, y para mostrar que ${<} \in U$.) Ahora nos vamos a $\Bbb R := \{ C \subseteq \Bbb Q \mid C \text{ is a cut} \}$.Nuestra intención interpretación es que el $C$ representa que la única real $x$ tal que $\{ y \in \Bbb Q \mid y < x \} = C$. Desde $\mathbb R \in \mathcal P(\mathcal P(\Bbb Q))$$\Bbb Q \in U$, podemos aplicar la condición 1 y 3 a conlude que $\Bbb R \in U$.

Hasta ahora, solo se define un conjunto $\Bbb R$, y no es del todo evidente que este conjunto tiene nada en común con nuestro intuitivo definición de $\Bbb R$. Sin embargo, no es difícil definir conjuntos de $+, {\,\cdot\,}, {<} \in U$ tal que $(\Bbb R, +, {\,\cdot\,}, {<}) \in U$ es demostrablemente isomorfo a nuestra idea intuitiva de $\Bbb R$ en el sentido de que $(\Bbb R, +, {\,\cdot\,}, {<})$ es un completo, totalmente ordenado de campo.

Answer 2

Bueno, depende de lo que son los números reales para usted. La teoría de conjuntos y la lógica son muy implementación agnóstico cuando se trata de "diario de las matemáticas". A nadie le importa lo que es el conjunto de $1_\Bbb R$, sólo que nos podemos encontrar en una construcción en la que este conjunto existe y se comportan como se esperaba.

Así que por el bien del argumento, vamos a tomar la costumbre de la construcción:

1. Los números naturales son finitos ordinales de von Neumann.
2. Los enteros son clases de equivalencia de números naturales.
3. Los números racionales son clases de equivalencia de los números enteros.
4. Los números reales son no vacíos inicial adecuada de los segmentos de los números racionales.

Así que por supuesto $\omega\in U$, por lo que los números naturales están ahí. Por tanto, el poder conjunto de $\omega$ es de allí, así que el conjunto de clases de equivalencia definición de $\Bbb Z$ es de ahí, de forma similar obtenemos $\Bbb Q$ no, y finalmente llegamos $\Bbb R$.

Así que, sí. Un universo también contiene el conjunto de todos los números reales. Pero en realidad podemos decir mucho más.

Teorema. Si $U$ es un universo, entonces existe un fuertemente inaccesible cardenal $\kappa$ tal que $U=V_\kappa$. Por otra parte $U$ es un modelo de $\sf ZFC$. (Donde $V_\kappa$ $\kappa$th etapa de la jerarquía de von Neumann.)

Esto no es muy difícil prueba, y, esencialmente, fue demostrado por Zermelo en la década de 1930. Pero muestra que un universo es muy grande.

Answer 3

$\mathbb{Z}$ es generalmente construidas de tal manera que sus elementos forma una partición de $\omega\times\omega$.

Por lo $\mathbb{Z}\subset\wp\left(\omega\times\omega\right)$ por lo tanto $\mathbb{Z}\in\wp\left(\wp\left(\omega\times\omega\right)\right)\in U$ y, en consecuencia,$\mathbb{Z}\in U$.

$\mathbb{Q}$ es generalmente construidas de tal manera que sus elementos son distintos subconjuntos $\mathbb{Z}\times\left(\omega-\left\{ 0\right\} \right)$.

Como anteriormente, encontramos $\mathbb{Q}\in U$.

$\mathbb{R}$ puede ser construido de tal manera que sus elementos son los subconjuntos de a $\mathbb{Q}$.

Por lo $\mathbb{R}\subset\wp\left(\mathbb{Q}\right)$ por lo tanto $\mathbb{R}\in\wp\left(\wp\left(\mathbb{Q}\right)\right)\in U$ y, en consecuencia,$\mathbb{R}\in U$.