¿Por qué el rompecabezas de los infinitos prisioneros y sombreros requiere el axioma de elección?

Question

Puzzle de prisioneros infinitos.

El enlace a Wikipedia describe el rompecabezas, y la solución. El axioma de elección se utiliza para elegir una secuencia de cada clase de equivalencia, que los prisioneros memorizan de antemano.

Sin embargo, la respuesta dice " Cuando se colocan en su línea, cada prisionero puede ver a qué clase de equivalencia pertenece la secuencia real de sombreros. "

¿Por qué no esperar a que los prisioneros vean en qué clase de equivalencia están? Entonces, ¿elegir una secuencia de esta clase de equivalencia? Esto evitaría tener que usar el axioma de elección, ¿o me equivoco?

Answer 1

Si cada prisionero elige individualmente un representante arbitrario de la clase de equivalencia de la secuencia real de colores de sombreros, y adivina su propio color de sombrero de acuerdo con este elegido arbitrariamente, entonces es posible que cada uno de los presos adivina el color de su sombrero equivocada . No hay límite.

Tienen que coordinar y acordar un representante para cada clase de equivalencia y ceñirse al representante elegido, porque entonces sólo un número finito de ellos puede estar equivocado en lugar de un número arbitrario de ellos.

Answer 2

No se les permite discutir las cosas una vez que están en la fila, así que puede ser que cada preso elija un representante diferente para la clase de equivalencia. Para evitar este problema, tienen que elegir un representante de antemano, y si lo eligen de antemano, tienen que elegir un representante para cada clase de equivalencia porque aún no saben en cuál estarán.

Answer 3

Además del hecho de que los prisioneros no pueden comunicarse entre ellos después de que se les entreguen los sombreros, hay que añadir que no todas las opciones infinitas requieren el axioma de elección, sin embargo este elección particular lo hace.

Es coherente que no exista ninguna función de elección del conjunto de clases de equivalencia de las secuencias binarias módulo de diferencias finitas. En tal universo los prisioneros están condenados a fracasar.