La forma habitual de definir la verdad se debe a Tarski. Dada una estructura $M$ (es decir, un conjunto con operaciones y relaciones), definimos recursivamente $M \models \phi$ , lo que significa $\phi$ es cierto en $M$ . Para concretar, consideremos los números naturales $N = (\mathbb N, +, \times, 0, 1, <)$ :
En otras palabras, la verdad se define exactamente como cabría esperar; los símbolos del lenguaje se corresponden con ciertas constantes, funciones y relaciones en la estructura y la verdad se basa en esa conexión.
Por otro lado, la probabilidad no es una propiedad de las estructuras. En cambio, es una propiedad de las teorías. Si $T$ es una teoría, es decir, un conjunto de oraciones en algún lenguaje fijo, entonces podemos definir una relación de demostrabilidad $T \vdash \phi$ . Hay muchas formas de hacer los detalles aquí para que coincidan con nuestra noción intuitiva de la demostrabilidad. Pero lo importante es que la relación de demostrabilidad debe estar cerrada bajo reglas de inferencia válidas (por ejemplo, si $T \vdash \phi$ y $T \vdash \phi \rightarrow \psi$ entonces $T \vdash \psi$ ), que los axiomas de $T$ son demostrables (si $\phi \in T$ entonces $T \vdash \phi$ ), y que las validaciones lógicas (afirmaciones verdaderas en cualquier estructura) son demostrables.
Ahora podemos preguntarnos cómo se relacionan la demostrabilidad y la verdad. Cualquier definición de demostrabilidad que valga la pena será sonido . Esto significa que si $M$ es un modelo de $T$ (es decir, cada axioma de $T$ es cierto en $M$ si se interpreta adecuadamente), entonces $T \vdash \phi$ implica $M \models \phi$ . En otras palabras, si hemos demostrado algo, entonces sabemos que es verdadero. Además, como demostró Gödel, la lógica de primer orden es completa . Esto significa que si cada modelo $M$ de $T$ tiene $M \models \phi$ entonces $T \vdash \phi$ .
Por último, es muy común ver que la gente se refiere a la verdad sin indicar la estructura en la que trabaja o que se refiere a la demostrabilidad sin indicar la teoría en la que trabaja. En la primera situación, suele estar claro qué estructura se utiliza implícitamente. Por ejemplo, la afirmación "17 es primo" se refiere a los números naturales, y puede traducirse a un enunciado formal como $N \models \forall x < 17\, \exists y \le 17 \ (x \times y = 17 \rightarrow x = 1)$ .
En esta última situación, al referirse a la demostrabilidad, se asume algún antecedente implícito de las matemáticas comúnmente aceptadas. Cuando decimos que el teorema del valor intermedio es demostrable, nos referimos a que existe una demostración de la TVI a partir de algunos principios básicos comúnmente aceptados.
