La compacidad en los subconjuntos de a $\mathbb{R}^2$ ejemplo

Question

Estoy trabajando en la compacidad en espacios topológicos y quería comprobar soy correctamente la comprensión y la aplicación de algunos teoremas.

Para tomar un ejemplo común, es

$S =\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 =1 \}$ compacto en $\mathbb{R}^2$?

Como se indica en Sutherland Introducción a Métricas y Topológicas de los espacios p136 Ejercicio 13.4. (No indica que la topología de ser utilizado, así que voy a asumir la norma Euclidiana).

Esta es la forma en que me he acercado al problema: el Uso de los teoremas que

Cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es compacto

y

(Heine-Borel) Cualquier cerrada delimitada subconjunto de $\mathbb{R}^n$ es compacto

He llegado a la conclusión de que $C = [-1,1] \times [-1,1] \subset \mathbb{R}^2$ es compacto y como el complemento de $S$ $C$ está abierto, $S$ es cerrado y por lo tanto compacto en $C$.

Sin embargo me encuentro con problemas de aquí porque tengo la compacidad en C y no $\mathbb{R}^2$, y tengo una fuerte sensación de que la compacidad en un conjunto no implica, necesariamente, la compacidad en el superconjunto.

Realmente agradecería su ayuda en la comprensión de la mejor manera de abordar este tipo de problema por lo que puede sentirse seguro en ejemplos más complejos. Gracias de antemano.

P. S Disculpas si he formateado o cualquier cosa que se hace referencia incorrectamente, todavía soy muy nuevo aquí.

Answer 1

La compacidad es una propiedad topológica, que no depende de la superconjunto, por así decirlo. Si $X$ es un espacio topológico y $Y\subseteq X$, $Y$ es un subconjunto compacto de $X$ si y sólo si $Y$ es compacto en su topología de subespacio (como un espacio topológico).

Para demostrar esto, supongamos que $Y$ es un subconjunto compacto de $X$ y deje $\{U_{i}\}_{i\in I}$ ser una cubierta abierta de a $Y$ en su topología de subespacio. Por definición, para cada una de las $i$ existe un abierto $V_{i}\subseteq X$$U_{i}=V_{i}\cap Y$. Ahora $\{V_{i}\}_{i\in I}$ es una cubierta abierta de a$Y$$X$. Por la compacidad de $Y$ podemos extraer de un número finito de subcover $\{V_{i_{k}}\}_{k=1}^{n}$, y ahora se $\{U_{i_{k}}\}_{k=1}^{n}$ es el finito subcover de $\{U_{i}\}_{i\in I}$ en la topología de subespacio que estábamos buscando. Por el contrario, asumir que $Y$ es un topológicos compactos espacio y $Y\subseteq X$ donde $Y$ tiene la topología de subespacio de $X$. Tomar una tapa abierta $\{U_{i}\}_{i\in I}$$Y$$X$. Ahora $V_{i}:=U_{i}\cap Y$ está abierto en $Y$ por cada $i$, e $\{V_{i}\}_{i\in I}$ es una cubierta abierta de a $Y$ en su topología de subespacio. El uso de compacidad para extraer un número finito de subcover $\{V_{i_{k}}\}_{k=1}^{n}$, de donde $\{U_{i_{k}}\}_{k=1}^{n}$ es el deseado finito subcover de $Y$$X$.

Otro enfoque rápido a su problema: tenga en cuenta que la función $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$, $(x,y)\mapsto x^{2}+y^{2}$ es continuo, y $S=f^{-1}\{1\}$. Desde diam$(S)=2$, $S$ está acotada. Aplicar Heine-Borel.