En la Hipótesis continua

Question

Permítanme empezar diciendo que yo no soy un matemático. Acabo de leer un artículo más en la revista Scientific American que discute la Hipótesis continua. He desarrollado el siguiente experimento de pensamiento que parecen probar la teoría de la verdad, pero como yo sé que es improbable. Así que aquí estoy pidiendo su ayuda.

1. Comience con el conjunto de todos los enteros $(-\infty,...,-1,0,1,...,\infty)$
2. Este conjunto puede ser considerado como 1-dimensional en el que para cada posición en el conjunto, no hay un único número posible
3. Considerar la adición de una dimensión adicional para el conjunto que tiene un solo valor posible (0): $(<-\infty;\ 0>,...,<-1;\ 0>, <0;\ 0>, <1;\ 0>,...,<\infty; 0>)$
4. Es evidente que este conjunto tiene la misma cardinalidad de los enteros como existe una clara correlación entre ellos
5. Ahora considere la posibilidad de tener dos valores en lugar de uno (0 y 5), y vamos a representar todo en la segunda dimensión de un decimal cuyo valor es añadido al primer número
6. Esto hace que el juego se $(<-\infty;\ 0;\ 5>,...,<-1;\ 0;\ 5>, <0;\ 0;\ 5>, <1;\ 0;\ 5>,...,<\infty; 0;\ 5>)$, que puede ser ampliado a $(-\infty,...,-1.0, -0.5, 0.0, 0.5, 1.0, 1.5,...,\infty)$
7. Este nuevo conjunto aún tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todos los números enteros, ya que cada número se pueden asignar directamente a un entero
8. Esta propiedad de la del conjunto de cardinalidad debe continuar a medida que los números se añaden al conjunto, hasta el punto de que una infinidad de los números se agregan
9. Una vez allí son infinitamente número de agregar los números de la segunda dimensión (secuencialmente), entonces la asignación de los números enteros no se puede realizar porque el infinito tamaño y la densidad máxima (todos los números enteros de 0 a $\infty$)
10. Este conjunto final, se ampliarán a ser exactamente el mismo que el de los números reales, y parece indicar que es imposible tener una cardinalidad entre los números enteros y números reales

Supongo que se trata de la declaración #9. A mí me parece que lo más importante es que este conjunto de números que incluye cualquier combinación de números del 0 $\infty$ para asegurarse de que los números irracionales.

Answer 1

El conjunto está edificio es muy específico. De hecho tiene el mismo tamaño que el de los reales. Hay formas naturales en que podemos identificar con ciertos conjuntos de reales. Estos conjuntos son "simples", en un sentido técnico. Es un primer teorema descriptivo de la teoría de conjuntos que todos estos juegos sencillos son contables o tienen el mismo tamaño que el de los reales.

(En términos técnicos, uno, naturalmente, puede identificar su conjunto, ya sea con el irrationals, a través de fracciones continuas, o un conjunto perfecto, dependiendo de los detalles específicos de la construcción. Incluso si modificamos su construcción, los conjuntos de obtener esta manera son conjuntos de Borel. El conjunto perfecto de propiedad de una clase de conjuntos significa que de cada juego en la clase, ya sea contable o contiene un conjunto perfecto. Los conjuntos de Borel tiene el conjunto perfecto de la propiedad.)

Así, el hecho de que hemos pasado de contables de tamaño para el tamaño de los reales no es debido a que no había intermedio cardinalidades, sino que es una consecuencia de la "complejidad topológica" de los conjuntos de su construcción produce.

Uno puede exhibir innumerables conjuntos de reales sin perfecto subconjuntos, pero todos los juegos son en un sentido menos "explícito" y en cambio, su existencia es una consecuencia del axioma de elección. En ciertos modelos de la teoría de conjuntos (que hoy en día tal vez deberíamos considerar patológico), esto los hace muy concreto, pero en otros modelos que son menos "tangibles". En cualquier caso, si cualquier conjunto de reales termina teniendo el mismo tamaño que los reales o no, es más sutil que el conjunto perfecto de la propiedad (y, como usted ha dicho, termina siendo improbable de la norma de los axiomas).

Dicho esto, usted está en buena compañía: Cantor demostró que perfecto conjuntos tienen el tamaño de los reales, y, esencialmente, se inició un programa de investigación cuyo objetivo fue establecer la hipótesis continua mostrando que todos los innumerables conjuntos de reales son "agradable" en el sentido de que contienen perfecto subconjuntos. Ahora sabemos que esto no es el caso, pero la investigación moderna ha demostrado que la virtud natural supuestos (grandes cardenales) todos los "concretos" conjuntos de reales son agradables, y así, todos los contraejemplos a la hipótesis continua, si, son altamente no-constructiva.

Answer 2

No estoy seguro de entender su notación, pero creo que su argumento se reduce a la siguiente:

1. $\mathbb{Z}$ es contable.
2. $\mathbb{Z}^2$ es contable.
3. $\mathbb{Z}^3$ es contable...
4. ...
5. $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$ (el conjunto de todos los countably secuencias infinitas de números enteros) tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$.
6. Por lo tanto, cada subconjunto de $\mathbb{R}$ es contable o tiene la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$.

El último paso no es válido. Una cosa que debe de inmediato el olor a pescado acerca de este argumento es que se pretende demostrar algo acerca de la cardinalidad de un conjunto arbitrario de los números reales, pero en ningún momento se hace realmente considerar un conjunto arbitrario de números reales.

Se han definido algunos secuencia de los números cardinales que va"$\aleph_0, \aleph_0, \aleph_0,\ldots, 2^{\aleph_0}$, pero que no tienen ninguna razón para creer que los números cardinales que ocurren en esta secuencia son los únicos números cardinales en la existencia. Tal vez la secuencia salta sobre las cardinalidades de algunos juegos que usted no haya considerado.