Aproximado Titular de funciones continuas por la suave funciones

Question

Deje $g \in C^{\alpha} (B_1)$ ser dado. Podemos encontrar una secuencia $(f_n) \subset C^{\infty} (B_1)$ tal que $f_n \rightarrow g$$C^{\alpha}(\overline{B_1})$? Si es así, ¿cómo se puede hacer?

He intentado usar el método para demostrar que, dado $g \in C_0(B_1)$ existe $(f_n) \subset C^{\infty} (B_1)$ tal que $f_n \rightarrow g$$C(\overline{B_1})$, que es, puedo hacer uso de la modllifier $\varphi_\varepsilon$ y considerar la posibilidad de $g \star \varphi_\varepsilon$, luego

$$|g \star \varphi_\varepsilon (x) - g(x)| \leq \int_{B_1} \varphi(z)|g(x - \varepsilon z) - g(x)|dz \rightarrow 0$$ uniformly since $g$ es uniformemente continua.

Utilizando el enfoque, el solo hecho necesito mostrar es$[g \star \varphi_\varepsilon - g]_\alpha \rightarrow 0$. Sin embargo, aquí es donde me quedé atrapado. Si trato de calcular el semi-norma directamente, entonces tenemos $$[g \star \varphi_\varepsilon - g]_\alpha = \sup_{x \neq y} |\int_{B_1} \varphi(z) \frac{(g(x - \varepsilon z) - g(x)) - (g(y - \varepsilon z) - g(y))}{|x - y|^{\alpha}}dz|$$ y no tengo idea de cómo puedo proceder.

Creo que este es un estándar de primaria y de aproximación problema, pero todavía tengo que encontrar cualquier texto que dar luz a este problema y pasó bastante tiempo en él. Así, alguien podría darme algún tipo de instrucciones o respuestas? Sería una gran ayuda para mis estudios y gracias de antemano.

Answer 1

Usted puede encontrar un contador de ejemplo en este enlace, sin embargo, me gustaría señalar que para cada $0<\beta<\alpha$ hemos convergencia. De hecho, para definir $x\neq y$ $$T(\epsilon,x,y)=\int_{B_1}\left|\varphi(z)\frac{g(x-\epsilon z)-g(x)-(g(y-\epsilon z)-g(y))}{|x-y|^\beta}\right|$$

Caso 1: $|x-y|\ge \delta_1$

En este caso tenemos que para cualquier $\eta>0$, $\epsilon_1>0$ que si $\epsilon<\epsilon_1$

$$T(\epsilon,x,y)\leq 2\frac{\|\varphi\|_\infty}{\delta_1^{\alpha-\beta}}|B_1|\eta\tag{1}$$

Para demostrar $(1)$, el uso de la uniformidad de la continuidad de la $g$ y el hecho de que $\frac{1}{|x-y|}\leq \frac{1}{\delta_1}$.

Caso 2: $|x-y|<\delta_1$

En este caso se utiliza el $\alpha$-Titular de la continuidad de la $g$ a concluir que para cualquier $\epsilon>0$ $$T(\epsilon,x,y)\leq 2\|\varphi\|_\infty |B_1||x-y|^{\alpha-\beta}\leq 2\|\varphi\|_\infty|B_1|\delta_1|^{\alpha-\beta}\tag{2}$$

Elegimos un adecuado $\delta_1$ y combinar $(1)$ $(2)$ a la conclusión de que la $$g\star\varphi_\epsilon\to g\ \mbox{in}\ C^{\beta}(\overline{B_1})$$