¿Cuáles son tus favoritos de instrucción contraejemplos?

Question

Relacionado: pregunta #879, la Más interesante de las matemáticas error. Pero la intención de esta pregunta es más pedagógico.

En muchas ramas de las matemáticas, a mí me parece que un buen contraejemplo puede valer tanto como un buen teorema o lexema. La única rama en la que creo que esto es explícitamente reconocida en la literatura es la topología, donde, por ejemplo Munkres se cuida de señalar y discutir su favorito contraejemplos en su libro, y Contraejemplos en la Topología es muy famoso. El arte de venir para arriba con contraejemplos, especialmente mínima contraejemplos, está en mi mente uno de los más importantes para cultivar, y tal vez no se enfatiza lo suficiente en estos días.

Así que: ¿cuáles son sus ejemplos favoritos de contraejemplos que ilumina realmente algo acerca de algún aspecto de un tema?

Los puntos de bonificación si el contraejemplo es mínima, en cierto sentido, los puntos de bonificación si usted puede hacer este sentido riguroso, y los puntos de bonificación extra si el contraejemplo fue lo suficientemente importante como para que el impacto de la suya o de alguien más investigación, especialmente si era lo suficientemente simple como para presentar en un título de libro de texto.

Como de costumbre, por favor, limítese a un contraejemplo por respuesta.

Answer 1

La Fabius función, en todas partes,$C^\infty$, en ninguna parte analítica.

a ver... de la lesión.matemáticas post

referencias:
J. Fabius, "probabilística ejemplo de un lugar analítico $C^\infty$-función". Z. Wahrsch. Verw. Geb. 5 (1966) 173--174.

K. Stromberg, la PROBABILIDAD que los ANALISTAS (Chapman & Hall, 1994), pp 117--120.

Answer 2

Me gusta la doble secuencia $a_{nm} = \frac{n}{n+m}$ to show that $\lim_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty} a_{nm}\neq \lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty} a_{nm}$ .

Answer 3

El conjunto de Cantor es una buena fuente de contraejemplos:

La primera medida cero establece que conoces son generalmente contables. Sin embargo, el conjunto de Cantor es incontable y de medida cero.

Es totalmente desconectada, sin embargo, no es un espacio discreto. En particular, esto demuestra que los componentes conectados de un espacio topológico no será necesario abrir sets.

Answer 4

Un contra-ejemplo en la teoría de grafos - el gráfico de Petersen.

En muchos aspectos es el más simple gráfico con muchas extrañas propiedades. Vea el artículo en la Wiki.

Cita de nuestro profesor que enseña la teoría de grafos:

Si usted piensa que usted ha demostrado ningún lexema acerca de los gráficos, trate de Petersen primero!

Answer 5

La matriz $\left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ tiene las siguientes propiedades maravillosas. (Siéntase libre de añadir o editar; no puedo recordar toda la razón, detestaba cuando yo estaba aprendiendo álgebra lineal. Es curioso cómo aburrido ahora todos se parecen, pero es un contraejemplo para casi todos mal de álgebra lineal prueba de que he tratado de dar).

• Sólo ceros como valores propios, pero no cero mínima polinomio (en particular, a la mínima que el polinomio de mayor grado que el número de autovalores). Probablemente mi forma favorita de estado de este hecho: a la mínima que el polinomio no es irreducible o plaza libre. La misma cosa en un aficionado del lenguaje: la forma canónica de Jordan no es diagonal.

• No diagonalizable, incluso a través de una algebraicamente cerrado de campo.

• No divisible $\mathbb C$. There are no matrices $M$ and integers $n\ge2$ so that $M^n = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right).$ All diagonalizable and most non-diagonalizable complex matrices have $n$th raíces.

  (Esto es porque, si hubo una raíz cuadrada, que tendría un mínimo de polinomio x⁴, pero ya que es un dos-por-dos de la matriz, de Cayley-Hamilton implica que el polinomio característico tiene grado 2).

• La matriz es nilpotent, pero no cero.

• Es uno de los mejores ejemplos de cuando usted necesita para recordar por qué la multiplicación de matrices no es conmutativa.

• El pensamiento de k² como k[x]-módulo donde x actúa como esta matriz debe dar maravilloso (el contador)-ejemplos de módulos por las mismas razones.

También, $\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ is an example of an invertible matrix with the first three properties above. Its action on k² is in some sense the simplest example of a representation of a group ($\mathbb{Z}$) que es indecomposable pero no irreductible.