Sea $X$ una superficie de Riemann $$ X = \left\{ (z,w) \in \mathbb{C}^2 \mid z^3 + w^3 = 1 \right\}. $$ Entonces tenemos $z^2 dz + w^2 dw = 0$ y podemos definir una forma holomorfa $\omega$ en $X$ por $$ \omega = \left\{ \begin{array}{rl} \frac{dz}{w}, & w \neq 0 \\ -\frac{wdw}{z^2}, & z \neq 0 \end{array} \right. $$ Sea $j = e^{\frac{2 i\pi}{3}}$ y $\gamma$ sea una trayectoria en $\mathbb{C}_{z}$ dada por la siguiente imagen:
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Sea $\Gamma$ un camino cerrado en $X$ obtenido elevando $\gamma$ y tal que $\Gamma$ pase por $(0,1)$, y sea $\Gamma_j$ un levantamiento de su parte $\gamma_j$.
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Integraremos $\omega$ sobre $\Gamma$. Comencemos desde $z = 0$ y avancemos hacia la derecha. Tenemos $$ \int\limits_{\Gamma_1} \omega = \int\limits_{0}^{1-\varepsilon} \frac{dt}{(1-t^3)^{1/3}} =: I_{\varepsilon}\;. $$ Luego calculamos $\int_{\Gamma_2} \omega$. Podemos usar la parametrización $z = 1 + \varepsilon e^{i \varphi}$, $\phi \in [-\pi,\pi]$ y $$w = (1-(1+\varepsilon e^{i \varphi})^3)^{1/3} = (-\varepsilon e^{i \varphi}(3 + 3 \varepsilon e^{i \varphi} + \varepsilon^2 e^{2i \varphi}))^{1/3}\;.$$ Para $\varepsilon$ suficientemente pequeño tenemos $|w| \geqslant |\varepsilon|^{1/3} C_{1}$ en $\Gamma_2 = \Gamma_2(\varepsilon)$. Luego $$ \left| \int\limits_{\Gamma_2} \omega \right| \leqslant \int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{| \varepsilon i e^{i \varphi} | dt}{|w|} \leqslant C_{2} \varepsilon^{2/3} \to 0\text{ cuando }\varepsilon \to 0. $$ Utilizando técnicas similares obtenemos que $\int_{\Gamma_5} \omega$ y $\int_{\Gamma_8}\omega$ tienden a $0$ cuando $\varepsilon \to 0$. Ahora calculamos $\int_{\Gamma_3} \omega$. Observemos que $w = \sqrt[3]{1-z^3} = \sqrt[3]{(1-z)(j-z)(j^2-z)} = \sqrt[3]{1-z}\sqrt[3]{(j-z)(j^2-z)}$. Cuando $z$ rodea $1$ en la curva $\gamma_2$, el argumento del primer factor aumenta en $\frac{2 \pi}{3}$ porque el argumento de $(1-z)$ aumenta por $2 \pi$. El argumento del segundo factor no cambia. Entonces la integral sobre $\Gamma_3$ es simplemente $$ \int\limits_{\Gamma_3} \omega = \int\limits_{1-\varepsilon}^{0} \frac{dt}{j(1-t^3)^{1/3}} = -j^2 I_{\varepsilon} $$ puesto que $j^2 = \frac{1}{j}$. Para calcular la integral sobre $\Gamma_4$ observemos que $t^3 = (jt)^3$ y entonces $1-t^3 = 1-(jt)^3$. Luego $$ \int\limits_{\Gamma_4} \omega = \int\limits_{0}^{1-\varepsilon} \frac{ j dt}{ j (1-(jt)^3)^{1/3}} = I_{\varepsilon}\;. $$ De manera análoga a $\Gamma_3$ tenemos que $\int_{\Gamma_6} \omega = \int_{\Gamma_9} \omega = -j^2 I_{\varepsilon}$ y $\int_{\Gamma_7} \omega = I_{\varepsilon}$. Dado que la forma $\omega$ es holomorfa en $X$ debemos tener $$ \sum\limits_{k=1}^{9} \int\limits_{\Gamma_k} \omega = I $$ donde $I$ es un período, que no depende de $\varepsilon$. Al tomar el límite cuando $\varepsilon \to 0$ obtenemos $$ 3(1-j^2) \int\limits_{0}^{1} \frac{dt}{(1-t^3)^{1/3}} = I\;. $$ ¿Mi pregunta es cómo encontrar ese período $I$?
P.D. Por cierto, utilizando otras técnicas (no relacionadas con superficies de Riemann) podemos mostrar que
$$ \int\limits_{0}^{1} \frac{dt}{(1-t^3)^{1/3}} = \frac{2 \pi}{3 \sqrt{3}}\;. $$
