Revisited$^2$: ¿por Qué es $(-n)^2$ divergentes? ¿Cómo puede ser demostrado con rigor?

Question

¿Por qué es $(-n)^2$ divergentes? Cómo es esta probado? He intentado usar el $\epsilon$ definición de convergencia para llegar a una contradicción, pero no sé que el uso de la definición es el camino a seguir. Tengo que $n^2-s\leq \frac{1}{n}$. No sabe a dónde ir desde aquí. Una sugerencia sería bueno.

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Attempt1:

Decir $\lim_{n\rightarrow\infty}=(-n)^2=s$. Luego se da un $\epsilon>0$ podemos encontrar una $N\in\mathbb{N}$, de modo que $\lvert (-n)^2-s\rvert \leq \epsilon$ por cada $n\geq N$. Pero si $n\geq N$, entonces debemos tener la $$\lvert (-n)^2-s\rvert\leq \frac{1}{n}\leq\frac{1}{N},$$ pero . . . hmm . . . No sé que este es un enfoque fructífero.

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Attempt2:

Suponiendo que la negación de la convergencia es

$$\text{$\exists\epsilon\leq 0$ s.t. $\forall N\in\mathbb{N}$ $n>N$ so that $\lvert s_n-s\rvert \geq \epsilon$},$$

luego, si nos vamos a $\epsilon=0$,$\lvert s_n-s\rvert \geq \epsilon\implies \lvert n^2-s\rvert \geq 0$, lo que significa que $n^2\geq s$$s\geq n^2$, lo $s=n^2$, lo que significa que $\lvert s_n-s\rvert \geq \epsilon$ tiene como $0\geq 0$, ¿verdad?

Answer 1

Más fácil es utilizar la negación de la definición de Cauchy secuencia:

Existe $\epsilon > 0$ tal que para cualquier $N$, hay algunos $n,m > N$ tal que $|x_n - x_m| > \epsilon$.

Tómese el tiempo para analizar esta declaración y que no sea demasiado malo para demostrar de lo que usted desea.

Answer 2

Reclamación de Cada secuencia convergente es acotada.

Prueba Supongamos que $x_n\to x$. Dado $\epsilon =1$, $N$ que si $n\geqslant N$ $$|x_n|-|x|<|x-x_n|<1$$ so when $n\geqslant N$ $$|x_n|<1+|x|$$

A continuación, para cada una de las $n$ tenemos $$|x_n|\leq \max\{|x_1|,\ldots,|x_{N-1}|,|x|+1\}$$

La observación de La secuencia de $a_n=(-n)^2$ es no acotada.

Answer 3

Trabajando a partir de la definición ,$\forall L \in \mathbb{R} \ \exists \epsilon > 0, \forall N \in \mathbb{N} \exists \ n > N : |n^2 - L| \geq \epsilon$.

Si L es negativo o cero, es fácil ver que $n^2 + L$ que $\forall n \geq 1 \ n^2 + L > L.$ Elija $\epsilon = |L|, $ $|n^2 - L| = n^2 + L > |L| = \epsilon.$

Si L es positivo, y $N \leq \lfloor\sqrt{L}\rfloor$ e N $\neq \sqrt{L}$, elija $\epsilon = L$. Entonces:

$\forall n \geq \lceil{\sqrt{2L}}\rceil, \ |\lceil{\sqrt{2L}}\rceil^2 - L| \geq |\sqrt{2L}^2 - L| = |L| = L = \epsilon.$

Si L es positiva y $N = \sqrt{L}$ o $N \geq \lceil\sqrt{L}\rceil$, $\forall n \geq N \ |(n+1)^2 - L| > |n^2 -L|.$

Elija $\epsilon = |(N+1)^2 -L|$$\forall n \geq N + 2$:

$|n^2 - L| > |(N+1)^2 -L| = \epsilon$.

Answer 4

Dado $N > 0$, se puede elegir cualquier número de $N'$ tal que $\quad n > N'\ \Longrightarrow\ -n^{2} < N$.

Para un determinado $N \leq 0\quad$, $\forall\ n > \left\lfloor\sqrt{\vphantom{\large A}-N\,} + 1\right\rfloor$ es cierto que $-n^{2} < N$.