Solución negativa a $x^2=2^x$

Question

Sólo por curiosidad estaba tratando de resolver la ecuación $x^2=2^x$ inicialmente pensé que sólo habría dos soluciones $x=2$ y $x=4$ pero wolfram muestra que las dos ecuaciones se cruzan no en 2 sino en 3 puntos, siendo el tercero un valor negativo de $x$ . La tercera solución no es tan obvia como las otras dos, así que tengo algunas preguntas sobre la solución negativa. ¿Es racional? ¿Se suele representar con una letra griega? Si es irracional, ¿hay alguna forma de aproximarla?

Answer 1

Supongamos , $gcd(a,b)=1$ , $x=\frac{a}{b}$ y $x^2=2^x$

Tenemos $$a^2=b^2\times 2^{a/b}$$

que implica

$$a^{2b}=b^{2b}\times 2^a$$

Esto es imposible, si $gcd(a,b)=1$ y $b>1$ . Obviamente, la solución negativa no es un número entero.

Si $x$ es algebraico irracional, entonces $2^x$ es trascendental, pero $x^2$ no lo es.

Así que.., $x$ la solución negativa, debe ser un número trascendental.

Answer 2

Así que tenemos $x^2 = 2^x$ . Tomando la raíz cuadrada de ambos lados y suponiendo que la solución es negativa se obtiene $x=-\sqrt{2}^x$ . Podemos entonces establecer una secuencia recursiva, $x_n = -\sqrt2^{x_{n-1}}$ . Suponiendo que esto converge nos da la respuesta, $x=-\sqrt2 ^{-\sqrt2 ^ {-\sqrt2 ^\cdots}}$ . Tras cinco iteraciones, obtenemos $$x\approx-0.76961847524.$$ Sustituyendo la respuesta obtenemos, $$2^{-0.76961847524} = 0.58657257487 \approx 0.59231259743 =(-0.76961847524)^2.$$