Enumerar el grupo de Galois

Question

Este es un ejercicio común:

Esboza el entramado de subcampos de $F = \mathbb{Q} ( \mathbb{e^{\frac{2 \pi i}{p}}})$ sea una extensión ciclotómica sobre $\mathbb{Q}$ (donde $p$ es un primo impar).

Esto me llevó a preguntarme cuál es la forma más fácil de escribir/enumerar los elementos del grupo de Galois $Aut_{\mathbb{Q}} F$ ?

Answer 1

Dejemos que $\zeta = \mathbb{e^{\frac{2 \pi i}{p}}}$ . Dejemos que $n$ sea cualquier número entero no divisible por $p$ . Existe un único $\sigma \in Aut_{\mathbb{Q}} F$ tal que $\sigma(\zeta) = \zeta^n$ . Denotemos esto como $\sigma$ por $\sigma(n)$ . Cada elemento de $Aut_{\mathbb{Q}} F$ puede escribirse de esta forma. Si $n \equiv m$ (mod $p$ ), $\sigma(n) = \sigma(m)$ . Por lo tanto, obtenemos un mapa $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^* \rightarrow Aut_{\mathbb{Q}} F$ , donde $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ es el grupo multiplicativo del campo $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Este mapa es un isomorfismo de grupo. Es bien sabido que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ es un grupo cíclico. Sea $r$ sea una raíz primitiva mod $p$ es decir $r$ (mod $p$ ) sea un generador del grupo $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ . Entonces $\sigma(r)$ es un generador de $Aut_{\mathbb{Q}} F$ .