Demuestre una desigualdad utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Question

Quiero demostrar que para todos $n\in\mathbb{N}$ y $x_i\in\mathbb{R}$ tenemos $$(x_1+\cdots+x_n)^2\leq n(x_1^2+\cdots+x_n^2).$$

Al principio quería hacer una prueba por inducción, pero ha resultado ser mucho más complicado de lo que imaginaba. Ahora estoy pensando en Cauchy-Schwarz, pero no consigo escribirlo de la forma correcta para obtener el resultado que necesito.

Cualquier sugerencia o ayuda será muy apreciada. La desigualdad de Cauchy-Schwarz, tal y como la usamos en mi clase, está en forma vectorial, es decir, $$|\langle u,v\rangle|\le\|u\| \|v\|.$$

Answer 1

$$ \left( \sum_{k=1}^{n}x_{k} \right)^{2} = \left( \sum_{k=1}^{n}x_{k}\cdot 1 \right)^{2} \leq \left (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2} \right) \left( \sum_{k=1}^{n}1 \right) = n \sum_{k=1}^{n}x_{k}^{2}. $$

Answer 2

También puedes resolverlo con Desigualdad de Chebyshev (lo cual es fácil de demostrar, como se muestra en el enlace).

Wlog deja $x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n$ . Entonces $$n\left(\sum_{i=1}^n x_ix_i\right)\ge \left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)$$

Answer 3

Se puede obtener una prueba directa observando que $$ \sum_{1 \leq i < j \leq n} (x_i - x_j)^2 = (n-1) \sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2 - 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_i x_j = n \sum_{1 \leq i \leq n} x_i^2 - \left(\sum_{1 \leq i \leq n} x_i\right)^2. $$

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Otra posibilidad es una interpretación probabilística de la prueba del usuario236182. Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria que varía uniformemente en el subconjunto $\{x_1,\ldots,x_n\}$ . La varianza de $X$ es $$ V[X] = E[X^2] - E^2[X] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - \frac{1}{n^2} \left(\sum_{i=1}^n x_i \right)^2. $$

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Otra posibilidad es minimizar el lado derecho manteniendo fijo el lado izquierdo. Supongamos que $y + \delta \leq z - \delta$ para algunos $\delta \geq 0$ . Entonces $$ (y + \delta)^2 + (z - \delta)^2 = y^2 + z^2 + 2\delta (y - z + \delta) \leq y^2 + z^2. $$ Dejemos que $\mu$ sea la media de $x_1,\ldots,x_n$ . Si el vector $x_1,\ldots,x_n$ no es constante, entonces siempre podemos encontrar algún $i,j$ tal que $x_i < \mu < x_j$ . Si $\mu \leq (x_i + x_j)/2$ entonces $x_i + (\mu - x_i) \leq x_j - (\mu - x_i)$ por lo que si sustituimos $x_i,x_j$ por $\mu,x_i+x_j-\mu$ , sin cambiar el lado izquierdo y sin aumentar el lado derecho. El caso $\mu > (x_i + x_j)/2$ pueden ser tratados de forma similar. Como resultado, hemos cambiado los valores de $x_1,\ldots,x_n$ de manera que no cambie el lado izquierdo y no aumente el lado derecho, y además aumente el número de $x_i$ s igual a $\mu$ .

Repitiendo esta operación como máximo $n-1$ veces, llegamos a la constante $\mu$ para lo cual la desigualdad se cumple trivialmente (ambos lados son iguales $(n\mu)^2$ ). Volviendo a la desigualdad original, su lado derecho no puede ser menor que $(n\mu)^2$ (ya que nuestra modificación no puede haberla aumentado), y deducimos la desigualdad.