La expectativa de valor de enredo de la entropía del sistema compuesto en un estado puro azar

Question

Estoy tratando de calcular la expectativa de valor de enredo de la entropía del sistema compuesto en un estado puro azar, pero me estoy quedando con algunos problemas.

El sistema que estamos considerando se compone de dos subsistemas $\mathcal{H} = \mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$ con dimensiones de $N_A$$_B$. Digamos que el sistema a es el menor de los dos: $N_A \leq N_B$. Estamos considerando al azar estados puros $|\psi\rangle \in \mathcal{H}$ estos se generan de la siguiente manera:

Para la base $\{e_i\}$ $\mathcal{H}_A$ y $\{f_j\}$ de $\mathcal{H}_B$ nos van a escribir $$|\psi\rangle = > \sum_{i=1}^{N_A}\sum_{j=1}^{N_a} \Psi_{ij} |e_i\rangle \otimes > |f_j\rangle.$$ $\Psi_{ij}$ se puede ver como las coordenadas de un punto en el ámbito de la unidad de $S^{N_AN_B-1}$$\mathbb{C}^{N_ANB}$. Así que para cada una de las $\psi$ hay un punto correspondiente en la unidad de la esfera. Es este punto, que es elegido de manera uniforme al azar.

Equivalentemente, podemos construir el azar estados como $U|\psi_\rangle$ donde U es un azar unitario de la matriz elegido con la medida de Haar.

La reducción de la matriz de densidad de Una es $\rho_A = \text{Tr}_B |\psi\rangle\langle\psi|$ correspondiente con el enredo de la entropía $S_A (\psi) = -\text{Tr} \rho_A \log \rho_A$.

Quiero calcular la expectativa de valor de $S_A$, dado por $$\mathbb{E}(S_A) = \int_{S^{(N_AN_B-1)}} d\sigma(\psi) S_A(\psi),$$ donde $d\sigma(\psi)$ es el uniforme de la medida en el ámbito de la unidad de $S^{(N_AN_B-1)}$.

He probado dos cosas diferentes:

El uso de la descomposición Schmidt

Cada estado de la $\psi$ puede ser Schmidt descompuesto: existen ortonormales familias $\{e_1, e_2, ..., e_{N_A}\}\in \mathcal{H}_A$ $\{f_1, f_2, ..., f_{N_A}\} \in \mathcal{H}_B$ y los números reales $c_1, c_2, ..., c_{N_A} \geq 0$ $\sum_i c_i^2 = 1$ tal que $$|\psi \rangle = \sum_{i=1}^{N_A} c_i |e_i\rangle \otimes |f_i\rangle.$$ El enredo de la entropía en este caso está dada por $S_A (\psi) = \sum_i c_i ^2 \log c_i ^2$.

Pensé que podría generar un estado aleatorio tomando al azar Schmidt descomposición, es decir, tomar todas las $c_i$ uniformemente con $\sum_i c_i^2 = 1$, tomar una muestra aleatoria ortonormales base de $\mathcal{H}_A$ (utilizando una muestra aleatoria unitario de la matriz con la medida de Haar a generar uno de algunos fija) y una al azar ortogonales de la familia en $\mathcal{H}_B$ (de nuevo utilizando una muestra aleatoria de matriz unitaria U con la medida de Haar para generar uno, pero ya que sólo se preocupan por el $N_A$ primer collums supongo que debe de adaptarse a la medida de alguna manera de compensar este).

Me temo sin embargo que esto no es correcto: no tengo la dependencia en la elección de ortonormales las familias para el cómputo de la expectativa de valor de las integrales sobre la central unitaria de matrices acaba de ser trivial. Así que mi primera pregunta es: ¿mi "random Schmidt descompuesto estados", coincidiendo con (normal) al azar de los estados? Y si no, ¿por qué?

Usnig un uniforme de medida en el ámbito de la unidad de

Mi segundo intento (que yo no se haya completado todavía) era sólo para usar el uniforme de la medida en la unidad de la esfera, como se describe anteriormente.

El uso de este me podrían dar una densidad de probabilidad de $\rho_A = \Psi\Psi^\dagger$ y entonces yo podría escribir $\rho_A = U\Lambda U^\dagger$ U algunos unitario de la matriz y $\Lambda = \text{diag}(p_1, p_2, ..., p_{N_A})$. Entonces yo podría dar una densidad de probabilidad para $\Lambda$ $$P(p_1, p_2, ..., p_{N_A}) = \int d\sigma (U) P(U\Lambda U^\dagger)$$ donde $d\sigma (U)$ es la medida de Haar. Pero estoy atascado un poco con esto.

Una vez que se encuentra este podría conmute la expectativa de valor como $$\mathbb{E}(S_A) = -\int dp_1dp_2, ... dp_{N_A} P(p_1, p_2, ..., p_{N_A}) \sum_i p_i \log p_i$$

Mi segunda pregunta es Esta es una forma correcta de hacerlo? Alguien me puede ayudar con el parametrisation de $\Psi$ en términos de los ángulos de la unidad de la esfera, o con otro método para obtener el $P(p_1,...,p_{N_A})$, y tal vez alguna de las siguientes integrales?

He encontrado algo en este artículo, pero la mayoría de los pasos son un poco vagos para mí.

Si este tipo de pregunta en lugar de ser publicado en la matemática de intercambio de la pila? He vuelto a publicar por acá desde su realidad, de una cuestión técnica, las matemáticas y no hay tanto física involucrada. Should I remove it aquí?

Answer 1

El promedio de la entropía de una parte de un estado es calculada por ejemplo, los siguientes documentos:

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.71.1291

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.72.1148

http://journals.aps.org/pre/abstract/10.1103/PhysRevE.52.5653

http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.77.1

(Ver también http://arxiv.org/abs/quant-ph/0407049donde estas referencias son tomadas de.)

Answer 2

No estoy seguro de lo que significa la elección de un azar puro estado de manera uniforme.
¿Quieres:
a) Cada una de las $|\Psi\rangle$ es elegido de manera uniforme en $\mathcal{H}$, lo $|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N_A N_B}}\sum_{i=1}^{N_A} \sum_{j=1}^{N_B} |e_i\rangle \otimes |f_j\rangle$ $\rho = |\Psi\rangle\langle\Psi|$
b) La matriz de densidad es elegido de manera uniforme en cada estado puro, por lo $\rho = \frac{1}{N_A N_B} \sum_{i=1}^{N_A} \sum_{j=1}^{N_B} |e_i\rangle \otimes |f_j\rangle \langle e_i| \otimes \langle f_j|$
c) por lo que he entendido desde dos enfoques que realmente deseas $|\Psi\rangle$ a ser elegido de manera uniforme, pero al azar de $\mathcal{H}$, ¿verdad? (Supongo que solo quería asegurarse de que hay una distinción entre el uniforme de la selección y uniforme de una elección al azar...) Si es así, entonces ver mis respuestas a continuación.

A sus preguntas:
Schmidt descomposición: Aquí es que no me queda claro cómo definir la probabilidad de medida de su estado con el fin de obtener una distribución uniforme, ya que la elección de los vectores de la base para la descomposición no es tan transparente.
Bloch esfera: yo no entiendo muy bien que usted elegiría esta matriz unitaria U para construir $\rho_A$, y en el que la probabilidad P depende?

Yo haría lo siguiente:
El uso de la Kronecker-base $$\mathcal{H} = \langle\{ e_1\otimes f_1, e_1\otimes f_2, ..., e_1 \otimes f_{N_B}, e_2 \otimes f_1, ..., e_{N_A} \otimes f_{N_B} \}\rangle =: \langle \{ \Psi_1, ..., \Psi_{N_A N_B} \} \rangle$$ $$= \{ \sum_{i=1}^{N_A N_B} a_i \Psi_i\ | \sum_{i=1}^{N_A N_B} |a_i|^2 = 1\} = \{ \sum_{i=1}^{N_A N_B} a_i \Psi_i\ | a= (a_1, ..., a_{N_A N_B}) \in S^{N_A N_B -1} \}.$$ Así que por un azar del uniforme de la selección de un elemento de $\mathcal{H}$ me gustaría entender un uniforme de la selección de $a= (a_1, ..., a_{N_A N_B}) \in S^{N_A N_B -1}$, por lo tanto utilizar una como una variable aleatoria con valores en $S^n$ ($n = N_A N_B -1$) y medir el $d\mu(a) = \frac{1}{|S^n|} d\Omega_n$ donde $|S^n|$ es el área de la n-dimensional de la esfera y de $d\Omega_n$ el habitual elemento de volumen de la misma. La reducción de la densidad de la matriz es entonces una combinación de $a_k$'s y tendrías que buscar su autovalores $\{\lambda_i(a)\}_{i=1}^{N_A}$ a fin de calcular el $S_A(a) = - \sum_{i=1}^{N_A} \lambda_i(a) log \lambda_i(a)$. La fórmula para la expectativa de valor de la entropía sería entonces $$E[S_A(a)] = \int_{S^n} S_A(a) d\mu(a)$$ donde la integración es un buen lío, dependiendo de lo que usted consigue para los autovalores.

¿Que sentido?

Answer 3

Yo no ir a los detalles de la Página de trabajo. Creo que lo importante es cómo entender su resultado. Me trató de una simple simulación de la transferencia de información durante agujero negro de la radiación con una simplificado agujero negro construido por el colapso de EPR pares. Entonces tengo una similar de la curva de la información/cambio de entropía durante el agujero negro de la radiación. Tengo que decir que no es igual a la de la Página de resultado, pero ayuda a entender el problema. Creo que también puede probar este.