La prueba de que se retracte de contráctiles espacio es contráctiles

Question

Estoy leyendo Hatcher y estoy haciendo ejercicio 9 en la página 19. Me pueden decir si mi respuesta es correcta?

Ejercicio: Demostrar que una retractarse de una contráctiles espacio es contráctiles.

Prueba:

Deje $X$ ser un contráctiles espacio, es decir,$\exists f :X \rightarrow \{ * \}$,$g: { * } \rightarrow X$ continua tal que $fg \cong id_{\{ *\}}$ $gf \cong id_X$ y deje $r:X \rightarrow X$ ser una retracción de $X$ es decir $r$ continuo y $r(X) = A$$r\mid_A = id_A$.

(Editado el uso de Anton respuesta)

Definir $f^\prime := f\mid_A$$g^\prime := r \circ g$.

Ahora tenemos que mostrarle $f^\prime \circ g^\prime \cong id_{ \{ * \} }$$g^\prime \circ f^\prime \cong id_A$.

$f^\prime \circ g^\prime \cong id_{ \{ * \} }$ sigue de $f^\prime \circ g^\prime = id_{ \{ * \} }$ (debido a que sólo hay una función ${ * } \rightarrow { * }$).

De $gf \cong id_X$ tenemos un homotopy $H: I \times X \rightarrow X$ tal que $H(0,x) = g \circ f (x)$$H(1,x) = id_X$. De esto podemos construir un homotopy $H^\prime : I \times A \rightarrow A$ definiendo $H^\prime := r \circ H \mid_{I \times A}$. A continuación,$H^\prime (0,x) = g^\prime \circ f\mid_A (x)$$H^\prime (1,x) = id_A$.

Estoy particularmente dissatisfecho con la cantidad de detalle en mi razonamiento , pero me parece que no puede producir lo que estoy buscando. Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

Estás restar importancia a las cosas más importantes. Se le da la información que $X$ es contráctiles. Esto significa que no existe una específica homotopy $H:I\times X\to X$ a que se contrae el mapa de identidad. Su objetivo es construir un determinado homotopy $H':I\times A\to A$ a que se contrae el mapa de identidad. La prueba nunca explícitamente se hace uso de $H$ y nunca de forma explícita (tal vez ni siquiera implícitamente) define a $H'$. Esto hace que se sienta como un montón de símbolo-empujar. (Esto no pretende ser un insulto; sólo estoy explicando por qué la prueba se siente insatisfactorio.)

Dos preliminar puntos:

• $\newcommand{\pt}{{\{\ast\}}}f'=f\circ r$ no es un mapa entre el derecho de las cosas; debe ser un mapa de $A\to\pt$, pero es un mapa en el $X\to \pt$. Esto no es demasiado importante, ya que sólo hay un mapa de la nada a un punto, pero la manipulación algebraica será más clara si se establece $f':=f|_A$.

• Usted no necesita comprobación $f'\circ g'\cong id_\pt$ ya que solo hay un mapa de $\pt\to\pt$.

Así que sólo necesita encontrar un homotopy de$id_A$$g'\circ f'$. Es decir, usted necesita para hacer una película (homotopy) que continuamente aplasta $A$ a un punto. Pero usted ya tiene una película de $H:I\times X\to X$ que aplasta $X$ a un punto (es decir,$H(0,-)=id_X$$H(1,-)=g\circ f$), y usted tiene una manera para que se retracte de nada en $X$ a algo en $A$, por lo que sólo puede retractarse de su película, la configuración de $H' = r\circ H|_{I\times A}$. A continuación,$H'(0,-) = r\circ H(0,-)|_A = r\circ id_A = id_A$$H'(1,-)=r\circ H(1,-)|_A = r\circ (g\circ f)|_A = r\circ g\circ f|_A = g'\circ f'$.

Answer 2

Tus verdaderas preguntas ya han sido contestadas. Aquí les doy una alternativa de la prueba, exigiendo una cierta familiaridad con las categorías. Ilustra la manera conveniente 'abstracto absurdo' puede ser. Salgo de la retracción $r:X\rightarrow A$ e inclusión $i:A\rightarrow X$$ri=1$.

El contráctiles objetos en categoría $\mathbf{Top}$ son exactamente los terminal de objetos en categoría $\mathbf{hTop}$. Si $X$ es un terminal de objeto en $\mathbf{hTop}$, a continuación, para cada objeto de $Y$ el homset $\mathbf{hTop}\left(Y,X\right)$ contiene exactamente una flecha. Nos deja denotar esta flecha por $\left[c\right]$. Luego homset $\mathbf{hTop}\left(Y,A\right)$ contiene flecha $\left[r\right]\left[c\right]$. Ahora vamos a $\left[f\right]\in\mathbf{hTop}\left(Y,A\right)$. A continuación, $\left[i\right]\left[f\right]\in\mathbf{hTop}\left(Y,X\right)$ por lo $\left[i\right]\left[f\right]=\left[c\right]$. Entonces nos encontramos con la $\left[f\right]=\left[r\right]\left[i\right]\left[f\right]=\left[r\right]\left[c\right]$ lo que demuestra que $\left[r\right]\left[c\right]$ es el único elemento de $\mathbf{hTop}\left(Y,A\right)$. Demostrado es que el $A$ es terminal en $\mathbf{hTop}$, por lo tanto contráctiles en $\mathbf{Top}$.

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Se puede hacer aún más corto:

$\left[\right]:\mathbf{Top}\rightarrow\mathbf{hTop}$ es un functor y functors respeto retracciones (=flechas que tienen derecho-revés). Así que si $r:X\rightarrow A$ es una retracción en $\mathbf{Top}$ $\left[r\right]:X\rightarrow A$ es una retracción en $\mathbf{hTop}$.

Si $\left[r\right]:X\rightarrow A$ es una retracción y $X$ es terminal, a continuación, $\left[r\right]$ es un isomorfismo, por lo tanto $A$ es terminal. (Esto es cierto en cada categoría, pero para mantener la línea de la prueba que yo sigo usando la notación $\left[r\right]$.)

La prueba de que: algunas de las $\left[s\right]:A\rightarrow X$ existe $\left[r\right]\left[s\right]=1$; a continuación, $\left[s\right]\left[r\right]:X\rightarrow X$ y la identidad es la única endomorfismo aquí, por lo $\left[s\right]\left[r\right]=1$.