Es $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{8n\cdot\zeta (2n)}{3\cdot 2^{2n}}=\zeta (2)$?

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{8n\cdot\zeta (2n)}{3\cdot 2^{2n}}=\zeta(2)$$

Mediante el cálculo numérico, he encontrado esta relación entre los valores de la función zeta en números enteros y $\zeta(2)$, pero esto necesita probar, alguna ayuda?

Answer 1

Desde: $$ \frac{1-\pi x\cot(\pi x)}{2}=\sum_{n\geq 1}\zeta(2n)\,x^{2n} \tag{1}$$ tenemos, por diferenciación: $$ \sum_{n\geq 1}2n\zeta(2n) x^{2n-1} = \frac{\pi}{4\sin^2(\pi x)}\left(2\pi x-\sin(2\pi x)\right) \tag{2}$$ y mediante la evaluación de los dos lados, a $x=\frac{1}{2}$ la demanda de la siguiente manera.

Answer 2

Tomando la derivada de $$ \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}\etiqueta{1} $$ y multiplicando por $x$ rendimientos $$ \sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac{x}{(1-x)^2}\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, $$ \hspace{-1cm}\begin{align} \frac83\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^{2n}}\zeta(2n) &=\frac83\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{4^n}\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^{2n}}\tag{3a}\\ &=\frac83\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{\left(4k^2\right)^n}\tag{3b}\\ &=\frac83\sum_{k=1}^\infty\frac{4k^2}{\left(4k^2-1\right)^2}\tag{3c}\\ &=\frac23\sum_{k=1}^\infty\left[\frac1{(2k-1)^2}+\frac1{(2k+1)^2}+\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right]\tag{3d}\\ &=\frac23\sum_{k=1}^\infty\left[\frac2{(2k-1)^2}-\left(\frac1{(2k-1)^2}-\frac1{(2k+1)^2}\right)+\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)\right]\tag{3e}\\ &=\frac23\sum_{k=1}^\infty\frac2{(2k-1)^2}\tag{3f}\\[6pt] &=\zeta(2)\tag{3g} \end{align} $$ Explicación:
$\text{(3a)}$: expandir $\zeta(2n)$
$\text{(3b)}$: cambiar el orden de la suma de
$\text{(3c)}$: aplicar $(2)$
$\text{(3d)}$: fracciones parciales
$\text{(3e)}$: unificar la suma de los impares plazas mediante la introducción de una telescópico de la serie
$\text{(3f)}$: la telescópico de la serie cancelar: $-1+1=0$
$\text{(3g)}$: la suma de los recíprocos de los impares plazas es $\frac34$ de la suma de los recíprocos de los cuadrados

Answer 3

Ok, vamos a dar a mí un poco diferente de la respuesta de la sota,

Nuestros suma es

$$ S=\frac{8}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{2n}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2n}}=\frac{8}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(2^2 k^2)^n}\underbrace{=}_{(1)}\frac{8}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4 k^2}{\left(4 k^2-1\right)^2}\underbrace{=}_{(2)}\\\frac{2}{3}\left(\partial_x\cot(1/x)-1+\underbrace{2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2\pi^2 x^2-1}}_{-Q(x)}\right)\big|_{x=\frac{2}{\pi}}\underbrace{=}_{(3)}\frac{2}{3}\left(\partial_x\cot(1/x)\right)\big|_{x=\frac{2}{\pi}}\underbrace{=}_{(4)}\frac{\pi^2}{6} $$

en (1) sólo hemos diferenciado una serie geométrica. En (2) se utilizó el Mittag-Leffler expansión de $\cot(1/z)$ y diferenciadas que $$ \partial_z\cuna(1/z)=\partial_z\left(z+2z\sum_{k=1}\frac{1}{1-\pi^2 k^2 z^2}\right)=1+\underbrace{2\sum_{k=1}\frac{1}{1-\pi^2 k^2 z^2}}_{P(z)}+\underbrace{4\sum_{k=1}\frac{\pi^2 k^2 z^2}{(1-\pi^2 k^2 z^2)^2}}_{\frac{3}{2} \quad\text{si}\quad z=2/\pi} $$

En (3) se utiliza de nuevo el Mittag Leffler de expansión para demostrar que la suma de la izquierda es $Q(2/\pi)=-1+\cot(1/x)/x\big|_{\frac{2}{\pi}}=-1$

En (4) se utilizó $ \partial_z \cot(1/z)=\frac{z^2}{\sin^2(1/z)}$ $\sin(\pi/2)=1$