Cómo comprobar si un polytope es un buen Fano polytope?

Question

Pregunta: Decimos que un convexo de celosía polytope $P\subset \mathbb{R}^d$ es un suave Fano polytope si:

1. El origen está contenida en el interior de $P$
2. Los vértices de cada una de las facetas de $P$ $\mathbb{Z}$- base de $\mathbb{Z}^d$

Ahora, supongamos que tenemos un conjunto de $V=\{v_1,\ldots,v_n\}\subset \mathbb{Z}^d$. ¿Qué es un (preferentemente eficiente) algoritmo para decidir si el convex hull $\text{conv}(V)$ es un buen Fano polytope?

Motivación:
He leído un artículo que da un algoritmo para clasificar todos los lisas Fano polytopes dada la dimensión de $d$ como entrada (Un algoritmo para la clasificación de suave Fano polytopes por Mikkel Øbro), y al intentar implementar dicho algoritmo descubrí que no saben cómo resolver esta cuestión.
Para aquellos que son curiosos, quiero usar el algoritmo para que me ayude a ganar algo de intuición acerca de las variedades tóricas, y utilizarla para calcular conocido invariantes y prueba conjeturas.

Answer 1

Después de haber encontrado las facetas de $P$, puede verificar si $d$ puntos forman un $\mathbb Z$ bases mediante el cálculo de sus determinante que tiene que ser $\pm 1$.

(El factor determinante es el volumen de la fundamental de dominio y es el inverso de la densidad del entramado de puntos. Un sublattice es el número entero de celosía si y sólo si la densidad es la misma.)