Sea $G$ sea un grupo. Definir $\zeta^i=\zeta^i(G)$ inductivamente como sigue: $\zeta^0=1$ y $\zeta^{i+1}$ es el subgrupo de $G$ para lo cual $$\frac{\zeta^{i+1}(G) }{\zeta^i(G)}=Z\left(\frac{G}{\zeta^i(G)}\right)$$
Así $\zeta^{i+1}(G)=\{g\in G:\forall g'\in G,[g,g']\in \zeta^i(G)\}$ es el mayor $^{1}$ subgrupo de $G$ para lo cual $[\zeta^{i+1}(G),G]\leqslant \zeta^i(G)$ . Mis preguntas son dos:
$(1)$ Es cierto que la última inclusión es una igualdad para cada $i=0,1,2,\ldots$ ? Se ve fácilmente que la última definición concuerda para $i=0$ para $Z(G)$ es el mayor subgrupo de $G$ para lo cual $[Z(G),G]\leqslant 1$ es decir $[Z(G),G]=1$ pero no estoy seguro de si tenemos igualdad para $i=1,2,\ldots$ .
$(2)$ Quiero mostrar cada $\zeta^{i}(G)$ es característico. $\zeta^{0}(G)=1$ es trivialmente característica. Supongamos ahora $\zeta^{i}(G)$ y observe que si $\eta$ es un automorfismo de $G$ entonces $[\zeta^{i+1}(G),G]\leqslant \zeta^{i}(G)$ se convierte en $[\eta\zeta^{i+1}(G),G]\leqslant \zeta^{i}(G)$ tanto para $G$ y $\zeta^{i}(G)$ son característicos, y $\eta[H,K]=[\eta H,\eta K]$ . Es decir $^{1}$ $$\frac{\eta\zeta^{i+1}(G)}{\zeta^i(G)}\leqslant \frac{\zeta^{i+1}(G) }{\zeta^i(G)}=Z\left(\frac{G}{\zeta^i(G)}\right)$$
así que $\eta \zeta^{i+1}(G)\leqslant \zeta^{i+1}(G)$ y $\zeta^{i+1}(G)$ es característico. ¿Hay alguna prueba mejor?
$1.$ Lema Si $K\lhd G$ , $K\leqslant H\leqslant G$ entonces $[H,G]\leqslant K\iff H/K\leqslant Z(G/K)$ . Así, si $H$ es algún grupo por encima de $\zeta^i(G)$ para lo cual $[H,G]\leqslant \zeta^i(G)$ el lema da $H/ \zeta^i(G)\leqslant \zeta^{i+1}(G)/\zeta^i(G)$ lo que implica $H\leqslant \zeta^{i+1}(G)$ .
