Más grande de orden de un elemento en un grupo

Question

Cómo determinar el mayor orden de un elemento en el grupo $\mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{18} \times \mathbb Z_{15}$.

Sé el orden de los elementos $(a, b)$ en el producto directo de los $\mathbb Z_m \times \mathbb Z_n$$\operatorname{lcm}(|a|, |b|)$. Cómo aplicar este resultado aquí? Gracias por la ayuda.

Answer 1

Usted está casi listo. Cuantos más cosa a tener en cuenta.

Para cualquier $(a, b, c) \in \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{18} \times \mathbb Z_{15}$, $|a|$ divide $4$, $|b|$ divide a los 18, y $|c|$ divide 15. Tenemos las siguientes posibilidades $order(a) = 1, 2, 4$, $order(b) = 1, 2, 3, 6, 9, 18$, y $order(c)= 1, 3, 5, 15$. El más grande de mínimo común múltiplo entre las posibilidades está la de $4$, $18$ $15$, que es $180$, que es el orden de $(1, 1, 1)$, y este es el mayor pedido de un elemento de $ \mathbb Z_4 \times \mathbb Z_{18} \times \mathbb Z_{15}$.

Answer 2

Utilizando el Teorema Fundamental de Finito Abelian Grupos puede escribir $$\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_{18}\times \mathbb{Z}_{15}\cong\mathbb{Z}_4\times (\mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_2)\times(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_5)\cong (\mathbb{Z}_3\times \mathbb{Z}_9)\times (\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4)\times (\mathbb{Z}_5)\cong \mathbb{Z}_6\times \mathbb{Z}_{180}$$

El pasado está escrito en forma canónica, donde cada orden se divide de la siguiente superior. Una vez hecho esto, el mayor pedido de cualquier elemento (llamado el exponente del grupo), es siempre el más grande de la orden, en este caso $180$.

Answer 3

Puedes hacer lo mismo. El orden de un elemento $(a,b,c)\in \mathbb{Z}_n\times \mathbb{Z}_{m}\times \mathbb{Z}_{k}$$\text{lcm}(\lvert a\rvert, \lvert b\rvert , \lvert c\rvert )$.

Ejemplo: El orden de $(0,0,3)\in \mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_{18}\times \mathbb{Z}_{15}$$\text{lcm}(1,1,5) = 5$.

Ejemplo: El orden de $(2,9,3)$$\text{lcm}(2, 2, 5) = 10$.