distribución de uno al azar por encima de la suma de variables aleatorias

Question

Supongamos que $X_1,\ldots,X_n$ son independientes de las variables aleatorias con $X_i\sim Gamma(\alpha_i,\beta)$. Definir $U_i=\frac{X_i}{X_1+\cdots+X_n}$$i=1,2,\ldots,n$. Mostrar que $U_i\sim Beta(\alpha_i,\sum_{j\neq i}\alpha_j)$. Esta es una cuestión del pasado examen completo. También le dio un consejo: Piensa en $U_i$ $X_i/(X_i+W)$ donde $W=\sum_{j\neq i}X_j$ es independiente de $X_i$. Alguien puede darme más de sugerencia al respecto?

Answer 1

Resultado: $$X\sim Gamma(\alpha_1,\lambda) \hspace{5pt} \text{indep of}\hspace{5pt} Y\sim Gamma(\alpha_2,\lambda)\hspace{5pt} \Rightarrow X+Y \sim Gamma(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)\hspace{5pt} \text{indep of}\hspace{5pt} \frac{X}{X+Y} \sim Beta(\alpha_1,\alpha_2)$$

Prueba: Supongamos $U=X+Y$ $V=\frac{X}{X+Y}$ escribir la articulación de la densidad de $(X,Y)$ Calcular el Jacobiano obtener la densidad de $(U,V)$. En estos procedimiento se puede conseguir algo más fuerte, a saber, $X+Y$ $\frac{X}{X+Y}$ son indep. (por supuesto, si $X$ $Y$ son indep.)

Answer 2

Sugerencia: se Derivan de la distribución condicional $P(X_i|W)$ y, a continuación, utilice el hecho de que una suma de gammas es también gamma para la incondicional parte $P(W)$. Entonces se obtiene:

$$P(X_i,W)=P(W)P(X_i|W)$$

Answer 3

Ilustración: El caso especial $n = 4, \alpha_i = 2,$ $i = 1, \dots, 4,$ mediante R a simulatie de 100.000 valores de $U \sim Beta(2, 6).$

 m = 10^5;  n = 4;  alp = 2
 x = rgamma(n*m, alp, 1)
 DTA = matrix(x, nrow=m, byrow=T)  # each row a sample of 4
 s = rowSums(DTA);  u = DTA[,1]/s  # numerator is first column
 mean(u);  var(u)
 ## 0.2506025    ## approximates E(U)
 ## 0.02084331   ## approximates V(U)

 hist(u, prob=T, col="wheat", main="")
 curve(dbeta(x, alp, (n-1)*alp), n = 1001, lwd=2, col="blue", add=T)