¿Qué ^x$ really mean when $x$ no es un número entero?

Question

Todos sabemos que ^5$ means \times 2\times 2\times 2\times 2 = 32$, but what does ^\pi$ significa? ¿Cómo es posible calcular que sin usar una calculadora? Estoy muy curioso acerca de esto, así que por favor, hágamelo saber lo que piensa.

Gracias!

Answer 1

Al $x \in \mathbb{N}$

Probablemente se enseñó que "la exponenciación es la multiplicación repetida":

$$b^x = \underbrace{b\times b\times b\times\ldots\times b}_{x\text{ times}}$$

A partir de esta simple definición, se puede observar dos propiedades:

• $b^{x+y} = b^x \cdot b^y$
• $b^{xy} = (b^x)^y $

Por ejemplo:

• ^{3+4} = 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^3 \cdot 2^4$
• ^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = (2^3)^4$

A continuación, podemos definitiva exponentation más general de los conjuntos de los números de una manera en la que estas dos propiedades siguen a la espera.

Al $x \in \mathbb{Z}$

A partir de la regla anterior, para la suma de los exponentes, se obtiene una regla de la resta de los exponentes: $b^{x - y} = {b^x \over b^y}$, because then $b^{(x - y) + y} = b^{x-y} \cdot b^y = {b^x \over b^y} \cdot b^y = b^x$ como se esperaba. Esto nos permite ampliar el dominio de los exponentes para incluir el cero y los enteros negativos:

$$b^0 = b^{y-y} = {b^y \over b^y} = 1,\; b \ne 0$$ $$b^{-y} = b^{0-y} = {b^0 \over b^y} = {1 \over b^y},\; b \ne 0$$

Al $x \in \mathbb{Q}$

Si usted asume que la multiplicate propiedad de los exponentes tiene para los racionales, a continuación,$(b^{1 \over n})^n = b^{{1 \over n} \cdot n} = b^1 = b$. So $b^{1 \over n}$ is a number whose $n$th power is $b$. En otras palabras,

$$b^{1 \over n} = \sqrt[n]{b},\; b \ge 0$$

Y $b^{m \over n} = (b^{1 \over n})^m = (\sqrt[n]{b})^m$.

Por ejemplo, 96^{5/12} = (\sqrt[12]{4096})^5 = 2^5 = 32$.

Al $x \in \mathbb{R}$

Todavía no he respondido a tu pregunta de lo ^\pi$ means. But at this point, we can calculate ^x$ for $x$ aribitrarily close to $\pi$.

• ^3$ = 8
• ^{3.1} = 2^{31/10} = \sqrt[10]{2^{31}} \approx 8.574187700290345$
• ^{3.14} = 2^{314/100} = \sqrt[100]{2^{314}} \approx 8.815240927012887$
• ^{3.141} = 2^{3141/1000} = \sqrt[1000]{2^{3141}} \approx 8.821353304551304$
• ^{3.1415} = 2^{31415/1000} = \sqrt[10000]{2^{31415}} \approx 8.824411082479122$
• ^{3.14159} = 2^{314159/10000} = \sqrt[100000]{2^{314159}} \approx 8.824961595059897$

Como $x$ approaches $\pi$, ^x$ approaches a limit, which is approximately .824977827076287$. For the sake of making ^x$ continuous, we define ^{\pi}$ a ser igual a este límite.

(Tenga en cuenta que no hay nada especial acerca de las fracciones decimales. Podría haber utilizado la secuencia de $[3, {22 \over 7}, {333 \over 106}, {355 \over 113}, \ldots ]$ de las mejores aproximaciones racionales, pero que habría sido menos evidente.)

Sin embargo, tomando la billonésima parte de la raíz de las enormes potencias de un número no es muy práctico para el cálculo. Un método más útil es el uso de logaritmos.

$\log_c y$ is defined as the number $x$ such that $c^x = y$. De las dos propiedades básicas de exponentation, usted puede obtener las identidades:

• $\log_c (ab) = \log_c a + \log_c b$
• $\log_c (b^x) = x \cdot \log_c b$

Y a partir de este último, consigue $$b^x = c^{x \cdot \log_c b}.$$ This means that if you have an exponential and logarithm function for one value of $c$, you can calculate them for any value for $b$.

Opción típica de $c$ son:

• 2, para una mayor comodidad en el trabajo con ordenadores
• 10, la base de nuestro sistema de numeración, dando común "logaritmos"
• $e \approx 2.718281828459045$, the base of the "natural logarithm" ($\ln$), para disfrutar de las propiedades de cálculo.

Así que, si quieres calcular ^{\pi}$, you'd actually calculate ^{\pi \cdot \log_{10} 2}$ or $e^{\pi \cdot \ln 2}$. Y que normalmente se haría con la ayuda de un logaritmo de tabla o de una regla de cálculo.

Al $x \in \mathbb{C}$

En el Cálculo, usted aprenderá acerca de la serie de Taylor, y los más conocidos por $e^x$, seno y coseno:

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \dots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k+1)!}$

¿Qué sucede cuando usted conecte $x = i \theta$ into the Taylor series for $e^x$?

$e^{i \theta} = 1 + i \theta + \frac{(i \theta)^2}{2} + \frac{(i \theta)^3}{6} + \frac{(i \theta)^4}{24} + \frac{(i \theta)^5}{120} + \frac{(i \theta)^6}{720} + \frac{(i \theta)^7}{5040} + \frac{(i \theta)^8}{40320} + \cdots$$

$$= 1 + i \theta + i^2 \frac{\theta^2}{2} + i^3 \frac{\theta^3}{6} + i^4 \frac{\theta^4}{24} + i^5 \frac{\theta^5}{120} + i^6 \frac{\theta^6}{720} + i^7 \frac{\theta^7}{5040} + i^8 \frac{\theta^8}{40320} + \cdots$$

$$= 1 + i \theta - \frac{\theta^2}{2} - i \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^4}{24} + i \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^6}{720} - i \frac{\theta^7}{5040} + \frac{\theta^8}{40320} + \cdots$$

$$= (1 - \frac{\theta^2}{2} + \frac{\theta^4}{24} - \frac{\theta^6}{720} + \frac{\theta^8}{40320} - \dots) + i (\theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \frac{\theta^7}{5040} + \cdots)$$

$$= \cos\theta + i \sin\theta $$

Esta es la llamada fórmula de Euler, y nos permite extender la exponenciación a los números complejos:

$$e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x (\cos{y} + i \sin{y})$$

Answer 2

Esto es más fácil de responder si se utiliza $ instead of $. What does ^{1/3}$ mean? It means you multiply by $ one-third of one time, and that means you do something that, if done three times, amounts to multiplication by $. If you multiply by $ three times, you've multiplied by $. Therefore multiplying by $ one-third of one time is multiplying by $.

Con ^x$ instead of ^x$, la idea es la misma, pero los números son sucios.

Esto deja a la pregunta: ¿Qué es ^x$ if $x$ is not a rational number like /3$? The function $x\mapsto 8^x$ is monotone: as $x$ gets bigger, so does ^x$. That means ^x$ is bigger than ^r$ when $r$ is any rational number less than $x$, and ^x$ is less than ^r$ when $r$ is any rational number bigger than $x$. That's enough to narrow down ^x$ a un solo número.

Answer 3

$f(x) = 2^x$ is the unique increasing real-valued function that satisfies $f(1)=2$ and $f(x+y) = f(x)f(y)$ for all $x,y \in \mathbb{R}$.

Answer 4

A partir de la "formal de las matemáticas" punto de vista, uno podría argumentar que usted está haciendo la pregunta equivocada. La pregunta correcta puede ser "¿Qué es $\log 2$?", which in turn leads to the question "What is $\log x$?" Permítanme explicar lo que quiero decir, y por qué estas preguntas están relacionadas con su pregunta.

Formalmente, podemos definir $\log x$ integral: $$\log x := \int_1^x \frac{1}{t} dt$$ de modo que $\log 2$ is just the area under $f(t)=\frac{1}{t}$ between $t=1$ and $t=2$. From this definition, one can prove all the properties that one expects from $\log x$. Por ejemplo:

• El dominio de $\log x$ is $(0,\infty)$,
• La función de $\log x$ es continua en su dominio,
• La función de $\log x$ es derivable en su dominio,
• La función de $\log x$ es estrictamente creciente en su dominio,
• $\log(xy)=\log x + \log y$, for any $x,y>0$,
• $\log(x^y)=y\log x$, for any $x>0$ and any $y\in\mathbb{R}$.

Desde $\log x$ is continuous and strictly increasing in its domain, the function $\log x$ is invertible, and we define $e^x$ as the inverse function of $\log x$, so that $e^{\log x} = x$, for any $x>0$, and $\log e^x = x$, for any real number $x$.

Ahora que hemos definido $\log x$ (in terms of areas under /t$) and we have defined $e^x$ (as the inverse function to $\log x$), we can talk about ^5$: $^5 = e^{\log 2^5} = (e^{5\log 2})$$ y el mismo funciona para cualquier número real $\alpha$: $^\alpha = e^{\log 2^\alpha} = e^{\alpha\log 2}.$$ Si usamos el hecho de que $e^x$ is the inverse function of $\log x$, and the definition of $\log$ en términos de áreas, llegaremos a la conclusión de que:

• "^\alpha$ " is the number $x$ such that the area between $t=1$ and $t=x$ under $\frac{1}{t}$ is precisely $$\alpha \log 2 = \alpha\cdot (\text{the area under } 1/t \text{ between } t=1 \text{ and } t=2).$$

Answer 5

Usted puede definir primero ^r$ for rational numbers $r$: if $r = p/q$ where $p$ and $q$ are integers and $q > 0$, ^r = (2^p)^{1/q}$ is the $q$'th root of ^p$. Resulta que con esta definición, ^r$ is an increasing, continuous function of $r$. Usted puede, a continuación, definir ^x$ for any real number $x$ as the limit of ^{r_n}$ for a sequence of rational numbers $r_n$ with limit $x$.