Esto no es una respuesta completa por cualquier medio, pero es la intención de conseguir el balanceo de la bola.
Primero de todo, no tiene que ser el caso que $H^1(X\_{fl},\mu\_n) = 0.$ Más, lo que sigue
desde la desaparición de la $H^1(X\_{fl},{\mathbb G}\_m)$ es que
$H^1(X\_{fl},\mu\_n) = R^{\times}/(R^{\times})^n.$
(Esto no es siempre trivial; imaginar
por ejemplo, que el $R$ no es algebraicamente cerrado de campo. Usted podría haber estado pensando en el caso
al $X$ es proyectiva y lisa en un algebraicamente cerrado de campo, cuando el $H^0$-parte de la secuencia exacta en sí es exacta, y por lo tanto puede ser omitido de consideración. Que no es el caso aquí).
En segundo lugar, esto no herir tus argumentos, porque la misma consideración de $H^0$-términos ha de efectuarse para la cohomology de $U$. Desde $X$ es tridimensional y una intersección, la restricción induce un isomorfismo
$H^0(X,\mathcal O) \cong H^0(U,\mathcal O)$, y así también un isomorfismo
$H^0(X,\mathcal O^{\times})\cong H^0(U,\mathcal O^{\times}),$ , por lo que también isomorphisms
$H^0(X\_{fl},\mu\_n) \cong H^0(U\_{fl},\mu\_n)$ y
$H^0(X\_{fl},{\mathbb G}\_m)\cong H^0(U\_{fl},{\mathbb G}\_m).$ , Con lo que, de hecho, uno encuentra que
el $n$-torsión en el procedimiento de Cfp$(U)$ es igual a la cokernel de la inyección
$H^1(X\_{fl},\mu\_n) \hookrightarrow H^1(U\_{fl},\mu\_n).$ , Y como su análisis de la muestra, este cokernel incrusta en $H^2\_{\{m\}}(X\_{fl},\mu\_n)$, con el cokernel de que la incrustación de la propia integración en $H^2(X\_{fl},\mu\_n).$
Entonces, ¿qué se puede decir acerca de este último cohomology grupo?
Desde $H^1(X\_{fl},{\mathbb G}\_m)$ se desvanece, como se observa, uno encuentra que las $H^2(X\_{fl}, \mu\_n)$ coincide con el $n$-torsión en el cohomological grupo de Brauer $H^2(X\_{fl},{\mathbb G}\_m).$ (Aquí estoy usando el hecho de que desde ${\mathbb G}\_m$ es lisa, plana y etale cohomology coinciden, por lo $H^2(X\_{fl},{\mathbb G}\_m) = H^2(X\_{et}, {\mathbb G}_m).$) por Lo que parece que uno quiere matar a la torsión en este grupo de Brauer.
No veo por qué esta necesidad de ser cierto, pero lo que realmente necesita es que $H^2(X\_{fl},\mu\_n)
\rightarrow H^2(U\_{fl},\mu\_n)$ is injective. Since $H^2(X\_{fl},\mu\_n)$ incrusta en
$H^2(X\_{fl},{\mathbb G}\_m)$, sería suficiente para demostrar que la restricción
$H^2(X\_{fl},{\mathbb G}\_m) \to H^2(U\_{fl},{\mathbb G}_m)$ induce una inyección de torsión. Podría esto ser algún tipo de pureza resultado en Brauer grupos de la clase Gabber se describe en el resumen? Estaría relacionado con una fuga de (torsión) $H^2\_{\{m\}}(X\_{fl}, {\mathbb G}\_m)$. En algún lugar (tal vez aquí?) presumiblemente tiene que hacer uso de la dimensión y la asociación hipótesis.
P. S. Usted puede simplemente desea enviar por correo electrónico Gabber preguntarle acerca de esto. Si lo hace, y de obtener una respuesta, por favor, ¡compártelo!
EDIT: Esto es un extracto del correo electrónico mencionado en el Hai Long comentario de abajo:
Para aprender acerca de estos tipos de argumentos, mi consejo es
hacer justo lo que están haciendo. Uno trabaja con la secuencia exacta
la vinculación de $\mu\_n$${\mathbb G}\_m$, como usted lo hizo.
Número de teóricos (al menos de una cierta banda) tiene algunas ventajas
con esto, porque el caso de $X =$ Spec $K$ ($K$ un campo) se ve mucho
bajo el nombre de Kummer teoría, y también Mazur en uno de sus
papeles famosos utiliza una gran cantidad de planos cohomology. Pero al final, el
el formalismo es el que usted utiliza en su pregunta.
Entonces, normalmente, uno tiene que inyectar algo adicional que
es menos formal. Mi sugerencia sería la de mirar a de Jong de la prueba
de Gabber del resultado que se muestre $Br'(X) = Br(X)$ comentó en su resumen.
(Hay una carta en de Jong en la web de la página.)
La lectura de la prueba de un resultado como este puede dar un poco de perspicacia
en cómo trabajar con Brauer grupos en menos de manera formal.
