Conjuntos de Universos, y la pequeña Yoneda Lema

Question

Supongamos que arreglar un universo $U$ $U$- categoría pequeña $C$. El regular Yoneda lema nos da algunas localmente pequeño (no necesariamente localmente U-pequeño?) functor categoría $C'=[C^{op},Sets]$ totalmente fieles incrustación $C\rightarrow C'$ y el canónico bijection entre el$Nat(F,Hom(-,x))$$F(X)$. Supongamos que consideramos ahora, el U-pequeño Yoneda lexema, es decir, nos fijamos en $[C^{op},U-Sets]$. Esto es de buen comportamiento ya que, aun cuando no es la U-pequeño, $Ob([C^{op},U-Sets])$ es todavía un conjunto.

Así que la principal pregunta que tengo es: ¿hay algún propiedades útiles de la norma Yoneda lema que no podemos reproducir con el $U$-pequeño Yoneda lema para algunos $U$?

Answer 1

Bueno, para cualquier universo U, la U-conjuntos pequeños de satisfacer los axiomas de ZFC (o lo que sea de su preferencia de la teoría de conjuntos es). Por lo tanto, cualquier cosa que podamos demostrar en ZFC acerca de la Yoneda integración en "todos" presheaves también es cierto acerca de los Yoneda integración en U-pequeño presheaves. Así que en ese aspecto, la respuesta parece ser "no".

Hay otras interpretaciones que haría que la respuesta es "sí," ya que en la vainilla ZFC cada clase es definible, considerando que no todos los U-gran conjunto es definible en términos de U-pequeños. Por lo tanto una declaración informal como "para cada una de las grandes thingumbob X, ..." podría ser cierto en ZFC, pero ya no es demostrable en relación a un universo, ya que el significado de "grandes" ha cambiado (a menos que cambie el cuantificador "para todo U-pequeño-definibles por el gran thingumbob X"). Esto no se contradice con la primera observación, ya que tal declaración no puede ser un único teorema de ZFC, sólo un meta-teorema, y cada instancia del meta-teorema es acerca de un determinado definidos por la clase y por lo tanto es verdadera acerca de la correspondiente U-pequeño-definibles por el U-gran conjunto. Sin embargo, ahora mismo no puedo pensar en cualquier interesantes o útiles de propiedades de la Yoneda incrustación de objetos que caen bajo esta rúbrica.

Así que creo que probablemente la respuesta sigue siendo "no".