Es allí cualquier agradable explicación de por qué el complejo de la función exponencial no tiene raíces en el plano complejo?

Question

Aquí yo no estoy en busca de una explicación que utiliza las propiedades básicas que la compleja función exponencial tiene, como $e^{z+w}=e^ze^w$ o $e^0=1$ o cualquier otro, si este hecho puede ser explicado por el uso de dichas propiedades básicas.

Estoy buscando alguna explicación que tiene que ver con las posiciones y el número de las raíces de la función exponencial truncada y supongamos que solo sabemos cómo las series de Taylor para $e^z$ parece, lo que en realidad busco una explicación en la que no sabemos que la compleja función exponencial tiene las propiedades básicas que tiene.

Supongamos que truncar complejo de la función exponencial y definir una función $e_{k}{(z)}=\sum_{i=0}^{k} \dfrac {z^i}{i!}$.

Debido al teorema fundamental del álgebra tenemos que $e_{k}{(z)}$ $k$ raíces complejas de modo que a mayor tamaño de la $k$ más raíces que tenemos.

Pero cuando se le pase el límite de $\lim_{k\to\infty} e_{k}{(z)}=e^{z}$ de alguna manera todas las raíces de "desaparecer", y en vez de esperar un número infinito de raíces tenemos ninguno.

¿Cómo explicar esto?

Answer 1

Citando a partir de la Localización de los ceros de las sumas parciales de $\exp(z)$ con Riemann-Hilbert métodos:

Denotamos por a $p_{n}(z) := 1 + z + \cdots + \frac{z^{n}}{n!}$ de las sumas parciales de la exponencial de la serie. El problema para describir la distribución asintótica de los ceros de $p_n$ fue planteado y resuelto en el clásico papel de Szegő [11]. Él demostró que los ceros de $p_n$, dividido por $n$, convergen en el límite de $n \to \infty$ a algunos curva de $D_{\infty}$, que ahora se llama Szegő de la curva, que se compone de todos los números complejos $|z| \leq 1$ que satisfacen la ecuación de $|z e^{1-z}| = 1$.

Por lo tanto, parece que los ceros de $p_n$ ir hasta el infinito como $n$ aumenta, dejando sin ceros para $\exp$.

Aquí es una declaración precisa, parafraseando a esta respuesta:

Cada cero del polinomio $\displaystyle s_n(z) = \sum_{k=0}^{n} \frac{z^k}{k!}$ se encuentra en el anillo $\displaystyle \frac{n}{e^2} < |z| < n.$

Ver Iyengar, Una nota sobre los ceros de $\sum_{r=0}^{n} \frac{x^r}{r!} = 0$, Las Matemáticas Student 6 (1938), pp 77-78.