Me pregunto si hay un campo de "real" geometría analítica", y si no, ¿por qué no? Hay ramas de la geometría correspondiente a cada vez más grandes conjuntos de funciones: polinómicas (geometría algebraica), analítica (geometría compleja), diferenciable (geometría diferencial), continuo (topología). 'Formas' definido por funciones analíticas que son estudiadas en geometría compleja, pero tan lejos como puedo ver sólo el complejo-funciones analíticas: es que no hay nada que estudiar sobre las cifras definido por la real funciones analíticas?
Respuestas
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Por supuesto, hay un área llamada Real de la Geometría Analítica, en el trato con las analíticas de los espacios. Esto se puede remontar de nuevo a un trabajo seminal por H. Cartan (Variétés analytiques réelles et variétés analytiques complejos, Bull. Soc. De matemáticas. Francia 85, 1957, 77-99). Una de las principales diferencias en el entorno real es la falta de coherencia, un resultado básico en el complejo de la analítica de los espacios. Una dificultad grave viniendo de esta falta es que un juego que a nivel local es descrito por el real de la analítica de las ecuaciones no tienen necesidad global de la analítica de las ecuaciones. Esto conducirá a la introducción de global analítica o C-analítica de los conjuntos de H. Whitney y F. Bruhat en Quelques propriétés fondamentales des conjuntos analytiques réels (Comentario. De matemáticas. Helv. 33,1959, 132-160), un papel fundamental. Otra dificultad que se asentaron en este trabajo es la noción de irreductibilidad. En el marco complejo, esto equivale a la conexión de los locus singular, mientras este topológico condición no es suficiente para que el real analíticos conjuntos; también hay que destacar que el real irreductible analítica conjunto se compone de piezas de diferentes dimensiones. Así vemos desde la base misma de la teoría de las peculiaridades de la real categoría.
Un poco ingenuo diferencia proviene del hecho de que los reales tienen una estructura de orden. Por lo tanto, podemos considerar a $\ge0$, y no sólo a $=0$ a describir conjuntos. Esta observación da paso a toda una nueva noción: la semianalytic conjuntos, introducido por S. Lojasiewicz (Conjuntos semi-analytiques. I. H. E. S. Bures-sur-Yvette, 1964) en sus estudios de las distribuciones. No hay nada como esto en el complejo reino! En la misma línea, tenga en cuenta que cualquier sistema de real ecuaciones $f_1=\cdots=f_r=0$ puede ser reemplazada por la simple ecuación $f_1^2+\dots+f_r^2=0$. Por desgracia, es todo lo hipersuperficie? No, el complejo hecho de que una ecuación da siempre un codimension 1 conjunto de falla en los reales: incluso el conjunto vacío puede ser descrito por una única ecuación ($x^2+1=0$). Lo que está detrás es el radical Nullstellensatz, de nuevo, fallando más de los reales.
También es importante, en la situación real, no hay ninguna asignación correcta teorema de hacer frente a las imágenes de la analítica de conjuntos. El fracaso de esta importante herramienta compleja que da lugar a una nueva clase de conjuntos, llamados subanalytic. Ellos fueron introducidos por el H. Hironaka al principio de la década de 1970, estudió de forma sistemática el uso de su desingularization teoremas.
Tercero, merece la pena destacar que en el real categoría todo es afín. Real de los espacios proyectivos reales y grassmannians puede ser analíticamente incrustados en algunos $\mathbb{R}^n$, de hecho, de manera algebraica incrustado. Como consecuencia de ello, en el real de la categoría todo es Stein, es decir, hay un montón de funciones analíticas para hacer las cosas. Por ejemplo, para representar los objetos de la Topología Algebraica (homología, cohomology, homotopy clases) el uso de la analítica de datos.
Se puede considerar también las singularidades de la real funciones analíticas y mapas, como parte del campo. La Geometría Algebraica Real es un área, pero este es más formal que en la práctica. En cualquier caso, todas estas áreas de nombre REAL tienen una conexión muy fuerte con la topología diferencial... como el de Nash(-Tognoli) teorema citado por @Matt E se muestra. Y Nash funciones también son relevantes en la subárea ya que M. Artin y B. Mazur, llamó la atención de ellos.
Un punto es que el complejo de la analítica de las estructuras son mucho más rígidos que los correspondientes a los reales. Por otro lado real de la analítica (o algebraica) de las estructuras de incluir siempre la herramienta de complejización (como los números reales son la parte real de los números complejos), a través de la cual uno siempre los análisis de los asuntos. Algunas personas incluso dicen que el real significa sólo complejo, además de una involución (conjugación, por así decirlo). En este sentido todo es una parte de la Compleja Geometría Analítica, y cualquier verdadero experto estará de acuerdo en que el hecho de ver objetos reales como parte de objetos complejos es siempre esencial. Con todo, hay una riqueza de la literatura de investigación en lo que podemos llamar Real de la Geometría Analítica.
YequalsX
Puntos
320
Sí, hay una teoría de la real de la analítica de los colectores. Sin embargo, resulta que cualquier liso colector puede ser promovido a un verdadero analítica colector de una manera única. Ver este MO de preguntas y respuestas para obtener más detalles.
De hecho, conectado cerrado suave colectores también puede ser realizado como Nash colectores, que se encuentran entre el algebraicas y analíticas de los mundos. Ver wikipedia para una breve discusión, y también p.91 de este papel de Artin y Mazur. (En caso de que el link muere en algún momento, este es Artin y Mazur del papel En período de puntos, en Anales de Matemáticas., vol. 81 (1965).)
