El primer descomposición sobre los números reales?

Question

Sobre los números naturales, cada número se puede descomponer de manera única como producto de números primos. Podemos generalizar esta idea a los reales? Aquí va mi intento:

Teorema de Puede existir un subconjunto $P\subseteq \mathbb R$ de los reales tales que

1. Para cada $0\neq x\in\mathbb R$ existe $F_x := \{(x_1,p_1),\dots,(x_n,p_n)\}\subseteq P\times \mathbb N $ $x=\prod\limits_{i=1}^n x_i^{p_i}$
2. Para cada $x\neq \pm 1$ esta descomposición es única, además de una representación de $\pm 1$ (es decir, Para 2 descomposiciones $F_x=\{(x_1,p_1),\dots,(x_n,p_n)\}$ $F_x'=\{(x_1',p_1'),\dots,(x_m',p_m')\}$ existe $F_1:=\{(z_1,q_1),\dots,(z_a,q_a)\}\subseteq X$ $F_1':=\{(z_1',q_1'),\dots,(z_b',q_b')\}\subset X'$ $\prod\limits_{i=1}^p z_i^{q_i}=\pm 1$ $\prod\limits_{i=1}^q z_i'^{q_i'}=\pm 1$ tal que $F_x\setminus F_1 = F_x'\setminus F_1'$

Este es esencialmente el de la factorización de Enteros generalizada en los reales con una condición adicional para permitir la singularidad. Obviamente, este conjunto es ambiguo, pero la descomposición para cada número, dado un conjunto de $P$, es único.

Mis intentos/resultados hasta ahora Primero de todo, estoy bastante seguro de que este teorema es verdadero. Soy consciente del hecho de que es muy probable que implican el Axioma de Elección.

• Si $P$ existe, entonces es incontable.
  Por qué? Si $P$ fueron contables, el conjunto de los subconjuntos finitos de $P$ es contable. Por definición de $P$, que es equinumerous a $\mathbb R$ través $\sigma:\{(x_1,p_1),\dots,(x_n,p_n) \} \mapsto \prod\limits_{i=1}^nx_i^{p_i}$.

• $\sigma:\mathbb (Q\times N)^*\to \mathbb R\setminus \{0\}$ ($(Q\times \mathbb N)^*$ es el conjunto de todos los subconjuntos finitos de $Q\times \mathbb N$, $Q\subseteq\mathbb R$) es surjective y multiplicativo, es decir, $A\cap B=\varnothing \Rightarrow \sigma(A\dot\cup B)=\sigma(A)\sigma(B)$

• $X \sim Y :\Leftrightarrow X$ sólo se diferencia por una representación de 1 de $Y$ es una relación de equivalencia.
  Por qué? la reflexividad y la simetría son triviales. Por transitividad, $X\sim Y\Leftrightarrow X\setminus F_1 = Y\setminus F_1' \Leftrightarrow \sigma (X) = \sigma(X\setminus F_1\; \dot\cup\; F_1)=\sigma(X\setminus F_1)\cdot 1 = \sigma(Y\setminus F_1')\cdot 1=\sigma(Y)$

• Sobre los racionales, un (contables) establecer existe: $P_{\mathbb Q}\bigcup\limits_{p\text{ prime}}\{p,\frac{1}{p}\}$

• De forma iterativa la adición de números, que no son expresables por los números en el conjunto, a $P_\mathbb Q$ funciona bien, sin embargo, nunca producirá el conjunto que estamos buscando.

Estoy teniendo problemas con el acabado el último argumento, es decir, haciendo el paso de countably a uncountably infinitos elementos. Así que ¿cómo se puede demostrar este teorema, o hay un contraejemplo?

Answer 1

Está tratando de demostrar que los reales son un UFD, hasta unidades. Eso es cierto, pero no en la forma que usted desearía. Desde $\mathbb{R}$ es un campo cada elemento distinto de cero es una unidad (no sólo de $\pm 1$). Por lo tanto, usted necesita para ampliar la excepción de incluir todo lo necesario, que por desgracia trivializa el resultado.

Como se desea, aquí es una explicación adicional. Supongamos que usted tenía una única factorización $x=x_1^{p_1}\cdots x_n^{p_n}$,$p_i\in\mathbb{N}$. Pero entonces te también necesita uno para $\frac{1}{x}$, y por la singularidad necesitaría $\frac{1}{x}=x_1^{-p_1}\cdots x_n^{-p_n}$; pero ahora los exponentes no son positivos.