Conjunto de generador de notación, se puede cambiar lo que está escrito en la izquierda y a la derecha de la barra vertical?

Question

He estado leyendo 'Cómo probarlo" por Velleman, en el libro se afirma que:

$\{x\,\in\,U\,|\,P(x)\}$; esto se lee " el conjunto de todos los $x$ $U$ tal que $P(x)$'.

A continuación, se dará $\{x\,\in\,\mathbb R\,|\,x^2<9\}$ como un ejemplo de un conjunto que tendría los números reales entre $-3$ $3$ elementos.

Sin embargo, en el próximo capítulo, el libro da un ejemplo del conjunto de todos los cuadrados perfectos $S$ especificando el universo de discurso de la derecha:

$S=\{n^2|\,n\,\in\,\mathbb N\}$

Por lo tanto, es aceptable para cambiar lo que está en el lado izquierdo de la barra vertical con lo que está a la derecha?

La entrada de la Wikipedia en conjunto generador de notación, bajo 'Especificando el dominio' utiliza la antigua notación, sin embargo, en virtud de 'expresiones Más complejas en el lado izquierdo de la notación musical" que se utiliza este último. Desde el libro y Wikipedia me asumir sería válido utilizar cualquiera de los dos. Dicho esto, he visto a gente decir que al cambiar uno de ellos sería la creación de un conjunto diferente.

Answer 1

TL;DR: NO!

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La estructura general de un conjunto generador de notación es $\{\text{term}(x)\mid\text{condition on }x\}$ o $\{\text{term}(x)\in X\mid\text{condition on }x\}$ cuando queremos obligado a los términos que nos permiten.

El lado izquierdo es algún término definido de $x$. Esto puede ser $n^2$, o puede ser $f(x)$ o lo que sea. Pero se trata de un término. Es un objeto matemático en nuestro universo matemático, que puede estar delimitado por un determinado conjunto. En el lado derecho, nos fijamos en la condición en $x$. Esta es una fórmula que debe tener una variable libre: $x$. Y entonces sabemos que tomamos todos los términos de construir a partir de $x$'s de satisfacer la condición.

Lo que está permitido hacer, sin embargo, es retraducir el plazo y las condiciones. Siempre se puede llegar a algo de la forma $\{x\mid\text{condition on }x\}$, porque siempre se puede poner la enlazado $x\in X$ en la condición, y siempre se puede decir algo como "No existe $y$ tal que $\text{term}(y)=x$".

Así que la escritura $\{n^2\mid n\in\Bbb N\}$ puede ser escrito como $\{n\mid\exists k\in\Bbb N:k^2=n\}$.

Pero la traducción de una cosa a la otra no es lo mismo que cambiar de lado. El conjunto generador de la notación $\{n\in\Bbb N\mid n^2\}$ carece de sentido, puesto que $n^2$ es un término, no es una fórmula. No se evalúa a true/false condición que nos dice en cuyo caso ponemos $n$ en nuestro juego y en el que caso de que no lo hacemos.

Así que en realidad la única cosa que se puede mover alrededor es el delimitador conjunto. Es decir, $\{x^3\in\Bbb N\mid x+1\text{ is even}\}$ $\{x^3\mid x\in\Bbb N\text{ is odd}\}$ formulario de la misma serie, aunque se ven de manera diferente. Por qué hacemos eso?

La respuesta es la legibilidad. Usted quiere escribir su conjunto en la forma en que va a ser la de más fácil lectura para el público, y maximizar la facilidad de uso, más tarde, cuando se refiere a las propiedades de los elementos en el conjunto definido por usted.

Así que cuando usted quiere tomar el conjunto de los cuadrados de los números naturales, es más fácil escribir $n^2$, y no "Hay algunos $k$ tal que $k^2=n$". Para hacer que el término más complejo hace que la condición de la manera más simple. Pero ahora nos hemos quedado sin ningún tipo de condición, como queremos tomar todas las plazas. Por lo tanto, pasar a la delimitación establecida en la condición, entonces tenemos que $n\in\Bbb N$ es nuestra condición.

Uno muy advertencia importante aquí es tener en cuenta que a veces el término se mueve de un conjunto a otro, e.g $f\colon X\to Y$$A\subseteq X$, $\{f(x)\mid x\in A\}$ es en realidad un subconjunto de a $Y$, por lo que sería escrito como $\{y\in Y\mid\exists x\in A: f(x)=y\}$. Así que cuando cambie los lados de la delimitación de las condiciones, es importante asegurarse de que los conjuntos que te importa son modificados si es necesario.

Answer 2

TL;DR: Sí.

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Seguramente para este barrido de la respuesta para hacer sentido, se debe justificar que no son (o podrían ser) universal de convenios de notación matemática (ya que no se especifica quién te refieres a que la notación sea aceptable, yo interpreto tu pregunta como algo a lo largo de las líneas de:

"Es aceptable por un grupo de personas suficiente suficientemente competentes en matemáticas para cambiar lo que está en el lado izquierdo de la barra vertical con lo que está a la derecha?").

No creo que tratando de producir una justificación es fructífera, incluso si pudiera ser producido; así prescindir de ella supongamos que estamos interesados en la práctica de las matemáticas que no son mezclados con los fundamentos (dicen que sólo de vez en cuando usar el Axioma de Elección, etc.). En este caso, siempre y cuando su notación para un determinado concepto es coherente con el resto de su outlook (o argumento, prueba, etc.) y qué quieres decir con la notación de usar hace que sea transmisible (con una suficientemente pequeño margen de error, que es, posiblemente, nunca cero) cualquier anotación que uso es muy aceptable. Aquí están algunos ejemplos:

• Cuando estoy escribiendo en una pizarra a veces, debido a la junta de la escasez yo incluso escribir un conjunto con un separador horizontal, LHS (el lugar para la forma general) en la parte superior y RHS (el lugar para la caracterización de propiedad) en la parte inferior.
• A veces $\in$ y la caracterización de la propiedad se unen y el separador no es utilizado en primera instancia en el plan de estudios de grado es, probablemente, la correspondencia de los subgrupos normales de un grupo que contiene un determinado subgrupo normal y normal de los subgrupos del factor grupo:

$$\{N\leq K\unlhd G\} \longleftrightarrow \{L\unlhd G/N\},$$

que también podría ser escrito como

$$\{K\mid N\leq K\unlhd G\} \longleftrightarrow \{L\mid L\unlhd G/N\},$$

pero en general no es ($G$$N$ son fijos, $K$ $L$ son ficticios, por lo que el interlocutor espera ser entendido en contexto).

• A veces es mejor no utilizar el generador de la notación parcialmente, por ejemplo, cuando la definición de la topología de un conjunto $X$, escribir "vamos a $\mathcal{T}:=\{U\in\mathcal{P}(X)\mid U\mbox{ is open}\}$" no suele ser mejor que escribir "vamos a $\mathcal{T}$ el conjunto (colección) de todos los conjuntos de $X$".

El punto principal de lo que se llama el conjunto generador de notación es que el separador que separa lo que forma un elemento genérico de la set tiene y cuál es su caracterización de la propiedad.

• Para el primer ejemplo, observe los siguientes:

\begin{align} A:=\{x\in\Bbb{R}\mid x^2<9\} &=\{x\in\Bbb{R}\mid \vert x\vert<3\}\\ &=\{x\in\Bbb{R}\mid x\in]-3,3[\}\\ &=\{x\mid x\in\Bbb{R}\mbox{ and }x\in]-3,3[\}\\ &=\{x\mid x\in\Bbb{R}\cap]-3,3[\}\\ &=\{x\mid x\in]-3,3[\}\\ &=]-3,3[\\ &=\{x\in]-3,3[\mid x\in\Bbb{R}\}\\ &=\{x\in]-3,3[\mid x\in\Bbb{C}\}\\ &\neq\{x\in\Bbb{C}\mid x^2<9\}, \end{align}

donde "observar" significa "no", la comprobación de que todo está en cumplimiento con la universal de términos y condiciones", sino para "la comprensión de lo que tenía en mente cuando me estaba manipulando la notación" (o "comprobación de que todo está en cumplimiento con los términos y condiciones aplicables, en esta instancia de razonamiento matemático").

• Si usted prefiere ser más coherente con el conjunto generador receta, $S=\{m\in\Bbb{N}\vert \exists n\in\Bbb{N}: n^2=m\}$.

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Los ejemplos y los comentarios de la anterior hace de manera un poco heurístico explicación de la configuración del generador de notación: En general es preferible especificar en el ambiente del conjunto, junto con la forma general de los elementos del conjunto. Esto también está en conformidad con el pedido de explicaciones verbales generalmente se utiliza, por ejemplo, "vamos a $A$ ser el conjunto de todos los números reales, cuyo cuadrado es menor que $9$" (observe que esto es un poco más natural que decir "vamos a $A$ ser el conjunto de todos los números cuyo cuadrado es menor que $9$, que pasará también a ser real").

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Aquí es un "suave" ejercicio para que usted cosa acerca de:

No sólo es el uso de la configuración del generador de notación no está grabado en piedra en la práctica, esta notación puede ser algo vaga inherentemente:

1. Si $S$ es un conjunto, vamos a $P_S(x)$ el de apertura de la frase "$x$ es un elemento de $S$.", donde por una "frase" me refiero a una declaración cuyo valor de verdad $\in\{\mbox{true}, \mbox{false}\}$ es dependiente de $x$:

$$P_S(x):="x\in S".$$

2. Si $P(x)$ es un enunciado abierto, vamos a $S_P$ ser el conjunto de todos los $x$'s, que presten $P(x)$ la verdadera:

$$S_P:=\{P\mbox{ is true}\}:=\{x\mid P(x)\mbox{ is true}\}=\{x\mid P(x)\}.$$

A continuación, tenemos una inherente que permite el intercambio asociado con LHS y RHS. Esta inherente que permite el intercambio está estrechamente relacionada con la "extensionality":

Extensionality: Un conjunto es completamente determinada sólo por la especificación de los elementos.

Este es un problema fundamental (véase la paradoja de Russell), pero en diferentes formas de este intercambio resulta ser muy importante, por ejemplo, en teoría de la medida, tenemos la función característica de un dado (medibles) set $A$:

$$\chi_A(x):=\begin{cases} 1,\mbox{if %#%#%}\\ 0,\mbox{if %#%#%} \end{casos},$$

lo que nos permite pensar (medibles) establece como (medibles) funciones y definir una muy fuerte integración.

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Un libro excelente, que complementarían su estudio actual sería de Mac Lane de Matemáticas de la Forma y la Función, que contiene (en mi opinión) información suficiente sobre los fundamentos y la filosofía de las matemáticas) para hacer no-fundacional de la matemática (y también le da un muy buen sentido de la "big picture"). El marco de mi respuesta puede ser el pensamiento de este libro también: "Forma es debido a la funcionalidad." (si se va a pedir un inducida por lema).