Clase grupo de $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$

Question

Encontrar el grupo de clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{7})$.

$\textit{Hint}$: aviso que $2=(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})$ y $-1+\sqrt{7}=(2+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})$

Aquí está lo que he hecho: la de Minkowski obligado es $\sqrt{7}\approx 2.65$, por lo que es necesario analizar $2\mathcal{O}$. Desde $x^2-7=(x+1)^2(\text{mod }2)$,$(2)=\mathfrak{p}^2$, donde $\mathfrak{p}=(2, 1+\sqrt{7})$. $[\mathfrak{p}]$ tiene orden de $\leq 2$ porque $[\mathfrak{p}]^2=[(2)]=e$. Si $\mathfrak{p}=(a+b\sqrt{7})$ algunos $a+b\sqrt{7}\in\mathcal{O}$,$(2)=\mathfrak{p}^2=((a+b\sqrt{7})^2)$, lo $2=u(a+b\sqrt{7})^2$ para algunos de una unidad de $u$. Las únicas unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ $(8+3\sqrt{7})^n$ algunos $n\in\mathbb{Z}$. Obviamente $n$ no puede ser, incluso, porque eso significaría $2=w^2$ algunos $w\in\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$ (absurdo), por lo que debemos tener $2(8+3\sqrt{7})=w^2$ algunos $w\in\mathbb{Z}[\sqrt{7}]$, que también es imposible por la simple verificación. Por lo tanto,$[\mathfrak{p}]\neq e$$Cl_{\mathbb{Q}(\sqrt{7})}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Que tomó un poco de trabajo, y supongo que el consejo podría ser útil, pero no veo cómo.

Answer 1

Tal vez he hecho estos cálculos tantas veces que no recuerdo donde las dificultades son. Pero yo diría de esta manera:

Usted sabe que $(2)=\mathfrak p^2$, y sabes que $2=(3+\sqrt7\,)(3-\sqrt7\,)$. Sólo queda demostrar que $3+\sqrt7$ $3-\sqrt7$ generar el mismo ideal, el que luego debe ser $\mathfrak p$. Pero: $$ \frac{3+\sqrt7}{3-\sqrt7}=\frac{(3+\sqrt7\,)^2}2=8+3\sqrt7\,, $$ una unidad. Que parece hacer.